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.原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
.作者當時任教於臺大數學系

註釋
 

代數學的故事

李白飛

 
 

朋友,你學過代數吧!那麼,請你說說看,代數學在學些什麼?解方程式?對了!不過,也許你要說,那是「中學代數」嘛,人家「大學代數」學的可是什麼群啦、環啦、體啦,一些玄而又玄的東西,那堿O解方程式呢?不錯,群、環、體等抽象的代數系統,的確是近世代數學所研究的對象,不過當初引進這些觀念,莫不是為了要有系統地處理方程式的問題。如果我們說,代數史就是解方程式的歷史,也不為過。現在讓我們來回顧一下代數學發展的歷史吧!


二次方程古已解之

早在數千年前,古巴比倫人和埃及人,即已著手於代數學的探索。雖然他們解決代數問題的方法,早已淹沒不彰,但是,很明顯的,從他們那高度發展的文明所帶來的種種成就,可以看出他們對很多的代數技巧相當熟習。譬如說,規劃那些規模宏大的建築,處理浩瀚的天文資料,以及推算各種曆法等,在在都必須知道解一次和二次方程的實際知識才行。巴比倫人和埃及人的數學,具有一個共同的特色,那就是「經驗主義」:一些計算法則,似乎都是由經驗得來。例如埃及人用

\begin{displaymath}A=(\frac{8d}{9})^2\end{displaymath}

來計算圓面積(其中 d 為圓之直徑),而巴比倫人則用

\begin{displaymath}d=h+\frac{w^2}{2h}\end{displaymath}

來求一高 hw 的長方形之對角線長(見圖一)。大致說來,他們對於尋求特殊問題之解答的興趣,遠比歸納某類問題的解法技巧來得高。



圖一:這的確是個相當不錯的近似公式。讀者不妨以 (h,w)=(4,3),(12,5),(24,7) 等實例去試試看。可以看出,在 h>w 時,這的確是個相當不錯的近似公式。我們知道。依照二項級數的展開, $d=\sqrt{h^2+w^2}=h(1+\frac{w^2}{h^2})^{\frac{1}{2}}$ $= h(1+\frac{1}{2}\cdot\frac{w^2}{h^2}+\cdots )$ $\doteqdot h+\frac{w^2}{2h}$(當h>w)只是不曉得巴比倫人是怎麼得來的。

特別值得一提的,是巴比倫人解方程式的能耐。根據出土的資料顯示,巴比倫人備有一些倒數、平方根和立方根的數值表以供應用。有一個記載著 u3+u2 的數值表,似乎是求 ax3+bx2=c 這類三次方程之近似解時所用 1 。至於二次方程式,巴比倫人顯然已能確實地解出。古巴比倫的文獻上,曾有這麼一個問題:求一個數使之與其倒數之和等於一已知數。用我們現在的語言來說,他們是要解

\begin{displaymath}
x+\frac{1}{x} =b
\end{displaymath}

事實上,這相當於解

x2-bx+1=0

這個二次方程;而他們已經曉得答案是

\begin{displaymath}
\frac{b}{2} \pm \sqrt{(\frac{b}{2})^2-1}
\end{displaymath}

此外,他們也曾處理類似下面這樣的問題:若一矩形之周長和面積皆已知,試求其長及寬。這幾乎已經是典型的二次方程式了,只不過巴比倫人僅討論具體的「應用問題」罷了。

 
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編輯:陳文是 最後修改日期:6/17/2002