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代數學的故事 (第 5 頁)

李白飛

 

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.原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
.作者當時任教於臺大數學系

註釋
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三次方程的一般解

所謂「一般的」三次方程式,便是形如

x3+bx2+cx+d=0

的方程式,如果作 $y=x+\frac{b}{3}$ 的變數變換,則原方程式就變成

\begin{displaymath}
y^3+py+q=0
\eqno{(1)}
\end{displaymath}

因此只要考慮這種型態的三次方程就夠了。卡當最初發表時是用 x3+6x=20 這個例子來說明他的解法,在此我們不妨考慮較一般的

\begin{displaymath}
x^3+mx=n
\eqno{(2)}
\end{displaymath}

其中 mn 為正數。卡當引進兩個新變數 tu,而令

\begin{displaymath}
t-u=n \; , \; tu=(\frac{m}{3})^3
\end{displaymath}

消去其中一個變數,再解所得之二次方程式,得到

\begin{displaymath}
t=\sqrt{\frac{n^2}{4} + \frac{m^3}{27}} + \frac{n}{2} , \;
u=\sqrt{\frac{n^2}{4} +\frac{m^3}{27}} -\frac{n}{2}
\end{displaymath}

卡當用幾何的方法證明

\begin{displaymath}
x=\sqrt[3]{t} -\sqrt[3]{u}
\end{displaymath}

為(2)式之一個根,這可能與「大舌頭」得的根相同。



圖二:卡當在《Ars Magma》書中,舉實例說明他的解法。上方 cub9 p:6 reb9 ae$\bar{q}$ lis 20 用近代數學表法就是 x3+6x=20

儘管當時已經是十六世紀,負數的觀念仍然受到歐洲人的排斥。所以,卡當(或許「大舌頭」也一樣)又解了

\begin{displaymath}
x^3=mx+n \; \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 184}} \; x^3+n=mx
\end{displaymath}

兩種型態的三次方程。雖然卡當也把負數稱為「幻數」,在他的書中負根和正根倒是兼容並蓄。不過,卡當對於虛根卻忽略不計,他管這種導致虛根的方程式叫「錯誤」的問題。我們知道一個三次方程有三個根,所以,卡當的討論並不完備,直到兩個世紀後的1732年,才由歐拉 (Euler) 彌補完全。歐拉強調一個三次方程式永遠有三個根,並且指出如何得到這些根:若 ω 和 $\omega^2$ 表 1 的兩個立方虛根,也就是

x2+x+1=0

的兩個根,則 tu 的立方根分別為 $\sqrt[3]{t}$, $\sqrt[3]{t}\omega$, $\sqrt[3]{t}\omega^2$$\sqrt[3]{u}$, $\sqrt[3]{u}\omega$, $\sqrt[3]{u}\omega^2$,如此,則

\begin{displaymath}
x_1=\sqrt[3]{t} -\sqrt[3]{u} \, ,\,
x_2=\sqrt[3]{t}\omega -...
...mega^2 \, ,\,
x_3=\sqrt[3]{t}\omega^2 -\sqrt[3]{u}\omega \, ,
\end{displaymath}

即為(2)式之三個根。同樣的道理,(1)式的三個根是

\begin{displaymath}
\begin{array}{lrcr}
y_1=& \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{D}} &...
...{D}} &+& \omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2} -\sqrt{D}} \\
\end{array}\end{displaymath}

在這裡 $D=\frac{q^2}{4} +\frac{p^3}{27}$ 是三次方程(1)的判別式。看到這樣美妙的式子,我們無法不讚嘆和欽敬發現者的聰穎。

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:6/17/2002