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代數學的故事 (第 18 頁)

李白飛

 

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.原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
.作者當時任教於臺大數學系

註釋
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奇案久懸難斷

費瑪在戴氏書上討論(7)式的那一頁這樣宣稱:若 n > 2,則 xn+yn=zn 沒有非零的整數解。還有,他說他「發現了一個真正神妙的證明,可惜頁邊空白太窄寫不下」。費瑪的這個敘述,後來被稱為「費瑪最後定理」,至於費瑪本人是否正確地證明過,則不無疑問。事實上。僅管費瑪以來這三個多世紀,數學的進展一日千里,然而截至目前,費瑪最後定理仍未能證明,而成為數學上最有名的懸案之一 9 。為證明這個定理所作的嘗試,產生了更美麗、更重要的數學,近代的「代數數論」、「環論」等就是在這種努力下的智慧結晶。



圖六:「信不信由你! x1979+y1979=z1979 沒有正整數解。」──費瑪(Fermat, 1601-1665)

雖然費瑪最後定理的正確性,至今仍然懸而未決,但是對於一些特殊的 n 則已獲得證明。費瑪本人就曾證明過 n=4 的情形。其實,要證明費瑪最後定理,只要考慮 n=4n 為奇質數的情形就夠。我們撇開 n=4 的情形,光說

\begin{displaymath}
x^p+y^p=z^p \eqno{(8)}
\end{displaymath}

其中p為奇質數的情形。1835年德國的庫瑪 (Kummer) 是第一個有系統地處理(8)式的人。若

\begin{displaymath}
\zeta_p=\cos\frac{2\pi}{p} +i\sin\frac{2\pi}{p}
\end{displaymath}

庫瑪把形如

\begin{displaymath}
a_0+a_1\zeta_p+\cdots +a_r\zeta_p^r
\end{displaymath}

的複數稱為一個「p分圓整數」,這堛 a0,a1,…,ar 都是一般的整數。庫瑪考慮這種「p分圓整數」的理由,是因為

\begin{displaymath}
x^p+y^p=(x+y)(x+y\zeta_p)\cdots (x+y\zeta_p^{p-1})
\end{displaymath}

可以完全分解成「p分圓整數」的乘積。他的構想是由此分解證明(8)式沒有非零的「p分圓整數」解,從而證明費瑪的定理。

庫瑪的老師狄瑞西利 (Dirichlet) 向他指出證明中的一個錯誤,那就是,一般整數均可表為質數的乘積,且表法唯一,但「p分圓整數」就不見得如此,庫瑪便仔細研究因式分解的唯一性,發現確實只有對某些特殊的質數p才成立。因此,他那關於費瑪最後定理的證明,只能算是對了一小部分。這該歸咎於他那疏忽的假定。然而,對數學本身而言,這是一次多麼幸運的疏忽啊!因為庫瑪為了彌補因式分解不一定唯一的缺憾,他創造了「理想數」的概念 10 。庫瑪對於理想數的深入研究,便是近代環論的肇始。

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:6/17/2002