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代數學的故事 (第 6 頁)

李白飛

 

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.原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
.作者當時任教於臺大數學系

註釋
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四次易解五次費思量

三次方程解出之後,緊接著四次方程的問題也在1545年被「肥了你」解決了。他的解法也發表在卡當的書中,和卡當公式屬於同樣的性質,但複雜得多,「肥了你」的方法是引進一個新變數,以期使原來的四次方程經過配方後可分解成兩個二次式的乘積。因為所引進的新變數滿足一個三次方程,可由卡當公式解出,從而原方程式便很快可以解出來了。

在「大舌頭」、卡當和「肥了你」解決了三次和四次方程之後,大家注意力的焦點很自然地便落在五次方程了。數學家們都樂觀地認為,在短時間內應該可以發現五次和更高次方程的「一般解」了。我們先來澄清一下,什麼叫做一個 n 次方程的一般解呢?根據解二次和三次方程的經驗,我們了解,n 次方程的一般解,應該是一組計算公式,可以用來把該方程式的 n 個根,表為其係數的函數。還有,公式堨u能用到四則運算(加、減、乘、除)和開方。雖然在五次方程一般解的尋求上投下了不少心血,誰知兩個世紀過去了,依舊沒有任何真正的進展。



圖三:「大舌頭」的半身像

第一個真正的突破,要歸功於十八世紀末兼具法、義血統的拉格朗日 (Lagrange) 了。他提出一種統一的解法,把已知的四次以下方程式的一般解,納入單一的法則。他的想法,是把解一個給定的方程式的問題,轉化成解另外一個補助的方程式,也就是所謂的預解式。拉氏的方法的確適用於一般的二次、三次以及四次的方程式。當原來的方程式次數不超過四的時候,預解式的次數是低於原式的次數。不幸的是,碰到五次方程的情形,拉氏的方法就行不通了,因為照他的方法所求到的預解式卻是六次的!

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:6/17/2002