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代數學的故事 (第 16 頁)

李白飛

 

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.原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
.作者當時任教於臺大數學系

註釋
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數論同蒙其利

幾何學並非十九世紀中,唯一與代數交流而豐收的一門數學,數論是另外一個受益的園地。簡單地說,數論是在研究 0,$\pm 1$,$\pm 2$,$\pm 3$,… 這些整數的性質。數論是數學中最古老的一門,但是卻歷久而彌新。多少世紀以來,一直是其他各門數學中無盡的新觀念之泉源。當然,我們不可能一一列舉所有因考慮數論問題而產生的代數觀念,不妨就看一看大家不太陌生的「費瑪最後定理」這個例子吧!

在平面幾何的教科書上,我們常常見到邊長為整數的直角三角形,尤其以勾、股、弦分別為 3,4,5 的三角形最為常見。根據商高定理(即畢氏定理),如果直角三角形的兩股長為 xy,斜邊長為 z,則

\begin{displaymath}
x^2+y^2=z^2 \eqno{(7)}
\end{displaymath}

假使我們想要找出邊長為整數的所有直角三角形,那就等於要找出(7)式的所有正整數解,也就是說 xyz 都是正整數的解。我們可以證明,(7)式所有的整數解是

\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{lcc}
x&=&c(a^2-b^2) \\
y&=&2abc \\
z&=&c(a^2+b^2) \\
\end{array}\right. \end{displaymath}

我們可以很容易地驗算,對所有的整數 abc,上式甯(7)式的解。

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:6/17/2002