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代數學的故事 (第 15 頁)

李白飛

 

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.原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
.作者當時任教於臺大數學系

註釋
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代數幾何之發韌

在十九世紀,代數與幾何之間的第三個接觸點,便是代數曲線的理論。德國數學家黎曼(Riemann)一些輝煌的構想,為這個理論注入了很大的動力。概略地說,一條代數曲線便是滿足

\begin{displaymath}
y^n+a_1(x)y^{n-1}+a_2(x)y^{n-2}+\cdots+a_n(x)=0 \eqno{(6)}
\end{displaymath}

的全體複數序對 (x,y) 之集合。在這 a1(x),a2(x),…,an(x) 都是複係數的多項式。例如:

\begin{displaymath}
x^2+y^2=1,\, xy=1,\, x^3=y^2+y^3+xy
\end{displaymath}

等方程式的解集合便都是代數曲線。一般人可能習慣把代數曲線想成(6)式型態方程式之實數解集合,其實,若考慮複數解,則可避免沒有實數點的曲線之尷尬情形。例如, x2+y2=-1 這個方程式就沒有實數解,但是卻有很多的複數解,譬如 (i,0),(0,i)等都是。黎曼將代數曲線的許多幾何性質,用純代數的語言來表達,這樣便可將代數的工具用來解決幾何上的問題。從黎曼的研究成果,發展出了一門「代數幾何學」,這是當今數學中相當受重視的一個領域。在上世紀的整個世紀堙A代數學的發展與代數幾何學的發展可說是齊頭並進。代數的成果,推動了幾何的研究,反之亦然。



圖五:「閣下在大一所學到的積分,正是在下定義的。」──黎曼 (Riemann, 1826-1866)

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:6/17/2002