代數學的故事 (第 8 頁)

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代數學的故事（第 8 頁）

李白飛

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．原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
．作者當時任教於臺大數學系

‧註釋
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有解無解耐尋味

阿氏讀過拉氏和高思有關方程式論的論述。他在中學時代就想學高思處理二項式方程的方法，去研究高次方程的可解性。最初阿氏以為他解出了一般的五次方程，不過他很快地就發現其中的謬誤，因此在1824到1826年這段時間，試著證明解的不可能性。首先他證明了這樣的定理：如果一個方程式可以用根式解，那麼在根的公式裏出現的每個根式，都應該可以表成諸根和 1 的某些方根之有理函數。這個結果正是魯氏用過但並未證明的補助定理──僅管阿氏並沒有見過他的論述。阿氏的證明相當複雜，而且繞圈子，甚至還有錯誤，不過幸虧並不影響大局。他接著證出了這樣的定理：如果僅允許四則運算和開方，那麼要想得到五次或更高次方程根的一般公式是不可能的。在此，我們必須強調一點，阿貝爾定理是需要一個很不尋常的證明的！因為，要驗證一個既有的公式，是否為一個給定的方程式之解，那是相當容易的；但是要證明「任何」公式都不對，則完全是另一回事！

雖然一般的高次方程不能用根式解，但仍然有不少特殊型態的方程式可用根式解。譬如二項式方程式

$\begin{displaymath} x^p=a (p \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \... ...us0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}}) \end{displaymath}$

就是一個例子。另外，阿氏自己也曾找到了一些。於是接著的工作便是決定何種方程式可以用根式解。這個工作，剛由阿貝爾開始，葛羅瓦就把它結束了。1831年葛氏找到了判別一個方程式是否可用根式解的充要條件。令人驚異的是，根據他的定理，居然有些整係數的五次方程，譬如

x⁵-4x+2=0

這個看來相貌平凡的方程式，它的根竟然無法用加、減、乘、除和開方來表示！

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編輯：陳文是

最後修改日期：6/17/2002