上頁 12345678910111213141516171819 次頁

代數學的故事 (第 8 頁)

李白飛

 

首頁 | 搜尋

.原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
.作者當時任教於臺大數學系

註釋
對外搜尋關鍵字
 
有解無解耐尋味

阿氏讀過拉氏和高思有關方程式論的論述。他在中學時代就想學高思處理二項式方程的方法,去研究高次方程的可解性。最初阿氏以為他解出了一般的五次方程,不過他很快地就發現其中的謬誤,因此在1824到1826年這段時間,試著證明解的不可能性。首先他證明了這樣的定理:如果一個方程式可以用根式解,那麼在根的公式堨X現的每個根式,都應該可以表成諸根和 1 的某些方根之有理函數。這個結果正是魯氏用過但並未證明的補助定理──僅管阿氏並沒有見過他的論述。阿氏的證明相當複雜,而且繞圈子,甚至還有錯誤,不過幸虧並不影響大局。他接著證出了這樣的定理:如果僅允許四則運算和開方,那麼要想得到五次或更高次方程根的一般公式是不可能的。在此,我們必須強調一點,阿貝爾定理是需要一個很不尋常的證明的!因為,要驗證一個既有的公式,是否為一個給定的方程式之解,那是相當容易的;但是要證明「任何」公式都不對,則完全是另一回事!

雖然一般的高次方程不能用根式解,但仍然有不少特殊型態的方程式可用根式解。譬如二項式方程式

\begin{displaymath}
x^p=a (p \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \...
...us0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}})
\end{displaymath}

就是一個例子。另外,阿氏自己也曾找到了一些。於是接著的工作便是決定何種方程式可以用根式解。這個工作,剛由阿貝爾開始,葛羅瓦就把它結束了。1831年葛氏找到了判別一個方程式是否可用根式解的充要條件。令人驚異的是,根據他的定理,居然有些整係數的五次方程,譬如

x5-4x+2=0

這個看來相貌平凡的方程式,它的根竟然無法用加、減、乘、除和開方來表示!

   

上頁 12345678910111213141516171819 次頁

回頁首
 
(若有指正、疑問……,可以在此 留言寫信 給我們。)
EpisteMath

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有


編輯:陳文是 最後修改日期:6/17/2002