代數學的故事 （註釋）

李白飛

 
註釋

...1
若令 $u=\frac{ax}{b}$，則原方程式變為 $u^3+u^2=\frac{a^2c}{b^3}$。因為 u3+u2 為 u 的漸增函數（當 u>0），所以從 u3+u2 的數值表，可利用插值法求得原方程式的近似解。
...2
al-jabr一字是「補償」的意思，這個名稱來自代數運算的「移項」。當我們將 x2-7=9 左邊的 -7 去掉時，右邊就得「補上」7而成為 x2=16。
...3
Tartaglia 原名 Niccolò Fontana，幼年時臉部曾被法國士兵以軍刀劃傷，因受驚嚇而說話結結巴巴，從此就被稱為「大舌頭」(Tartaglia) 而不名。他自己寫的書也以此署名。
...4
讀者也許會對「大舌頭」寄予無限的同情，然而「大舌頭」與卡當實在是一丘之貉。他曾「翻譯」一些阿基米得的論述，事實上是抄自三世紀前別人的作品。另外，他也曾把別人所發現的斜面上的運動定律，宣稱是自己的創見。
...5
葛羅瓦的求學過程一直坎坷不平，或許這也是他不受重視的原因之一。他曾兩度投考當時最好的巴黎工藝學院，結果都名落孫山。後來他進了較差的學校，卻因在大革命時期，抨擊該校校長，而遭校方開除。
...6
作正17邊形，等於作一個 $\frac{2\pi}{17}$ 的角，其方法如下：在一個半徑為1的圓O中作彼此正交的二直徑AB、CD，過A與D分別作切線交於S。在AS上取一點E使AE=$\frac{1}{4}$AS。以E為圓心，OE為半徑，畫弧交AS於F與F'兩點。再以F為圓心，OF為半徑，畫弧交AS於H（H在FF'線段外）；又以F'為圓心，OF'為半徑，畫弧交AS於H'（H'在FF'線段上）。自H作一線與AO平行，而交OC於T。延長HT至Q，使TQ=AH'。以BQ為直徑，作圓交CT於M。作OM之中垂線，交圓O於P，則 $\angle POC$ 及所求之角。其證明因涉及繁複之計算，茲從略。



...7
三大幾何作圖，其實就是作一線段，使其長度分別等於一已知線段之$\cos\alpha$，$\sqrt[3]{2}$ 和 $\sqrt{\pi}$ 倍，其中 α 為已知角。根據體論的分析，如果一已知線段之 α 倍長可以作圖的話，則 α 必須滿足一個次數為 2n，不可約之有理多項式。例如 $\sqrt[3]{2}$ 滿足 x3-2 這個不可約多項式，但次數為3，因此倍立方為不可能。同理， $\cos 20^{\circ}$ 滿足 $x^3-\frac{3}{4} x-\frac{1}{8} =0$，故三等分 $60^{\circ}$ 亦不可能。另外，π 為一超越數（也就是說，π無法滿足任何非零的有理係數多項式），因此 $\sqrt{\pi}$ 亦然，所以方圓也同樣地不可能。
...8
通常人們習於「真理只有一個」的觀念，不免對於各種幾何系統中，所呈現的不一致性感到困惑。1872年克氏應聘為 Erlangen 大學教授，在演說中他提出以「變換群」來描述幾何的概念。他認為幾何學的目標，是在討論變換群下的不變量。不同的變換群，便導致不同的幾何學。
...9
網站按：目前費瑪最後定理已經證明，請參閱本站其他相關文章
...10
我們用一個例子來說明理想數的概念。大家都知道，在正整數系中，質因數的分解確實唯一。然而，如果我們只考慮 1,8,15,22,… 等這些除以7餘1的正整數所成的數系，則因數分解的唯一性便不再成立了。例如：792=22×36=8×99，而 22,36,8,99 四個數都不能再分解。當然，我們知道792=2×4×9×11，而22=2×11, 36=4×9, 8=2×4, 99=9×11，只不過 2,4,9,11 四個數並不在這個數系裡面。然而，在正整數系中，2=(22,8), 4=(36,8), 9=(36,99), 11=(22,99)。也就是說，這些數雖在此數系外，卻與系中的數有密切的關係。這些數便是該數系的「理想數」。原來的數系，如果加上這些理想數，因數分解就變成唯一了。
   


最後修改時間: 6/17/2002