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代數學的故事 (第 13 頁)

李白飛

 

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.原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
.作者當時任教於臺大數學系

註釋
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無心插柳柳成蔭

1796年,德國的天才數學家,當年才十九歲的高思證明了正17邊形可以用尺規作圖6 。 1826年,他更進一步地宣稱,一個正n邊形可以作圖的充要條件,就是

\begin{displaymath}
n=2^kp_1p_2\cdots p_r \,\mbox{, {\fontfamily{cwM0}\fontserie...
...family{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 50}} k \geq 0 \; ,
\end{displaymath}

p1,p2,…,pr 分別為形如 22m+1,而彼此互異的質數。說得更明白些,每個 pi 必須是 3, 5, 17, 257, 65537 等質數之一(22m+1 不一定都是質數)。高思的論述中,確實證明了這個條件的充分性,然而,必要性並不明顯,高思也沒有證明。1837年,汪徹 (Wantzel) 證明了高思條件的必要性,此外他還證明了三等分任意角和倍立方的不可能性。至方圓問題則是1882年才由林德曼 (Lindemann) 證明為不可能。就這樣,三個古典的難題都在十九世紀解決了。值得注意的是,這些古典難題之不可能性,其證明所用的是代數的觀念(如體等),而不是幾何的方法 7 。更讓人驚訝的是,這些有關的代數觀念,係來自當年解方程式的經驗和葛羅瓦的研究成果。

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:6/17/2002