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.原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
.作者當時任教於師大數學系
 

幾何學中的海倫
擺線及其他

趙文敏

 
 


何謂擺線

在夜晚的路上,當一輛腳踏車從你面前疾馳而過時,如果車輪上掛著一個小燈泡,你可曾注意到小燈泡在前進過程中描繪出什麼樣的線條?

腳踏車在路上前進,車輪像一個圓,前進的路在一直線上,所以,腳踏車的前進可看成是一個圓在一直線上作沒有滑動的滾動。當一圓形在一曲線上作沒有滑動的滾動時,圓形上的每一個點在滾動過程中,都會描繪出一條曲線,這種曲線稱為「旋輪線」(roulette)。 選擇不同的圓形、不同的曲線與不同的點,可以得出許多不同的旋輪線,我們舉出幾個例子如下。



圖一

當一個圓在一直線上作不滑的滾動時,圓周上的點所描繪的旋輪線稱為「擺線」(cycloid);圓內部的點所描繪的旋輪線稱為短擺線 (curtate cycloid);圓外部的點所描繪的旋輪線稱為長擺線 (prolate cycloid)。短擺線與長擺線合稱為次擺線 (trochoid,見圖一)在下文中,我們將圓稱為滾動圓、直線稱為底線。

當一個小圓在一個大圓的內部沿著大圓作不滑的滾動時,小圓圓周上的點所描繪的旋輪線稱為內擺線 (hypocycloid);小圓內部與外部的點所描繪的旋輪線稱為內次擺線 (hypotrochoid)。

當一個小圓在一個大圓的外部沿著大圓作不滑的滾動時,小圓圓周上的點所描繪的旋輪線稱為外擺線 (epicycloid);小圓內部與外部的點所描繪的旋輪線稱為外次擺線 (epitrochoid)。

本文的前半部分先討論擺線。

習題:當滾動圓在直線或圓上滾動時,滾動圓的圓心描繪出什麼曲線?

 
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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002