趙文敏

何謂擺線 擺線的參數方程式 擺線下的面積 擺線的漸屈線 擺線的弧長 擺線的等時性質 擺線的最速降性質 擺線史話 何謂內擺線、外擺線 內、外擺線的參數方程式 內、外擺線是封閉曲線嗎？ 內、外擺線也是直線的包絡線 以定點描繪內、外擺線另一法 內、外擺線的漸屈線 內、外擺線的弧長 內、外擺線所圍的面積

何謂擺線

在夜晚的路上，當一輛腳踏車從你面前疾馳而過時，如果車輪上掛著一個小燈泡，你可曾注意到小燈泡在前進過程中描繪出什麼樣的線條？

腳踏車在路上前進，車輪像一個圓，前進的路在一直線上，所以，腳踏車的前進可看成是一個圓在一直線上作沒有滑動的滾動。當一圓形在一曲線上作沒有滑動的滾動時，圓形上的每一個點在滾動過程中，都會描繪出一條曲線，這種曲線稱為「旋輪線」(roulette)。 選擇不同的圓形、不同的曲線與不同的點，可以得出許多不同的旋輪線，我們舉出幾個例子如下。

圖一

當一個圓在一直線上作不滑的滾動時，圓周上的點所描繪的旋輪線稱為「擺線」(cycloid)；圓內部的點所描繪的旋輪線稱為短擺線 (curtate cycloid)；圓外部的點所描繪的旋輪線稱為長擺線 (prolate cycloid)。短擺線與長擺線合稱為次擺線 (trochoid，見圖一）在下文中，我們將圓稱為滾動圓、直線稱為底線。

當一個小圓在一個大圓的內部沿著大圓作不滑的滾動時，小圓圓周上的點所描繪的旋輪線稱為內擺線 (hypocycloid)；小圓內部與外部的點所描繪的旋輪線稱為內次擺線 (hypotrochoid)。

當一個小圓在一個大圓的外部沿著大圓作不滑的滾動時，小圓圓周上的點所描繪的旋輪線稱為外擺線 (epicycloid)；小圓內部與外部的點所描繪的旋輪線稱為外次擺線 (epitrochoid)。

本文的前半部分先討論擺線。

習題：當滾動圓在直線或圓上滾動時，滾動圓的圓心描繪出什麼曲線？