幾何學中的海倫 (第 10 頁)

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幾何學中的海倫
擺線及其他（第 10 頁）

趙文敏

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．原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
．作者當時任教於師大數學系
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內、外擺線的參數方程式

設滾動圓的半徑為 a，固定圓的半徑為 ka，其中 k 是比 1 大的一個固定數。又設固定圓的圓心是原點 O，而滾動圓上的定點在出發時的位置是 A(ka,0)。設滾動圓到達某個位置時，其圓心為 J、與固定圓的切點為 I，而滾動圓上的定點移動到 P(x,y)。設以 $\overline{OA}$ 為始邊、 $\overline{OJ}$ 為終邊的有向角為 t 弧度，我們以 t 為參數（見圖九）。

圖九

因為弧 IP 與弧 IA 的長度相等，所以，有向角 $\angle PJI$ 是 kt 弧度。過 P 與 J 分別作水平直線與鉛垂直線，則可就 t 的值所屬的各種範圍分別討論（例如：圖九是 $0\leq t\leq\frac{\pi}{2(k-1)}$ 的情形），而得

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& (k-1)a \cos t + a \cos(k-1)t \\ y &=& (k-1)a \sin t - a \sin(k-1)t \end{array}\right. \end{displaymath}$

這就是內擺線的參數方程式。

若將上述情形中的定點換成與滾動圓的圓心相距為 d，且在出發時的坐標為 ((k-1)a+d,0)，則此定點在滾動過程中，所描繪曲線的參數方程式為

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& (k-1)a \cos t + d \cos(k-1)t \\ y &=& (k-1)a \sin t - d \sin(k-1)t \end{array}\right. \end{displaymath}$

其次，若將圖九中的滾動圓改成與固定圓外切，則仿照上面的處理方法，即可得外擺線的參數方程式為

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& (k+1)a \cos t + a \cos(k+1)t \\ y &=& (k+1)a \sin t - a \sin(k+1)t \end{array}\right. \end{displaymath}$

其中 k 表示固定圓與滾動圓的半徑之比， $k\geq1$ 。同理，將定點改成與滾動圓圓心的距離為 d，且在出發時的坐標為 [(k+1)a-d,0]，則可得外次擺線的參數方程式為

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& (k+1)a \cos t + d \cos(k+1)t \\ y &=& (k+1)a \sin t - d \sin(k+1)t \end{array}\right. \end{displaymath}$

上述四組參數方程式可合併成下述形式：

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{lr} x = (k-\epsilon)a\cos t + \epsilon... ...n t - d\sin(k-\epsilon)t & \quad \eqno{(1)} \end{array}\right. \end{displaymath}$

其中 $\epsilon=1$ 或 -1，而 $k\geq1$ 、 $k\geq\epsilon$ 且 $d\geq0$ 。當 $\epsilon=1$ ，上述參數方程式，依 d=a 或 $d\neq a$ 分別表示內擺線或內次擺線；當 $\epsilon=-1$ 時，上述參數方程式，依 d=a 或 $d\neq a$ 分別表示外擺線或外次擺線。

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編輯：李渭天 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002