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幾何學中的海倫
擺線及其他
(第 5 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
.作者當時任教於師大數學系
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擺線的弧長

曲線的漸屈線在弧長方面有一個重要性質,這個性質對擺線的討論特別有用,我們先介紹這項性質。此性質的證明只需使用微積分的方法即可。

設曲線 E 是曲線 C 的漸屈線,PQ 是曲線 C 上兩點,曲線 CPQ 的法線分別與漸屈線 E 相切於 P'Q',則在漸屈線 E 上,弧 P'Q' 的長等於 $\overline{PP'}$$\overline{QQ'}$ 兩線段長的差。

在圖四中, $\overline{PP'}$$\overline{QQ'}$ 小,所以,P'Q' 弧的長等於 $\overline{QQ'}-\overline{PP'}$。這個性質可以作下面的幾何解說: 假設有一條線纏繞在漸屈線 E 上,現在將一端點拉緊在 P 點,此時,在 P'Q' 的部分,線仍然纏在漸屈線上,但在 P'P 的部分,則已經拉直成線段。接著,將線繼續拉緊解開,纏在 P'Q' 弧上的線逐漸被拉成線段,此時,因為有前面所提的性質,所以,在將線拉緊解開的過程中,線的端點必定沿著曲線 CP 點移向 Q' 點。

以擺線為例,在圖三中的漸屈線弧 AP'A' 中,不論 P' 點的位置在弧上何處,AP'A' 弧的長度都是等於 P'A' 弧的長加上線段 $\overline{PP'}$ 的長。將 P' 趨近 A',則 P 趨近 C。因此,擺線弧 AP'A' 的長等於線段 $\overline{CA'}$ 的長,此值為 4a。因為擺線弧 AP'A' 與擺線弧 CQB 全等,其長是擺線一拱 ACB 的一半,所以,可知:若滾動圓的半徑為 a,則擺線一拱的長度為 8a



圖三

同理,在圖三中,PC 弧的長等於 Q'B 弧的長,此值等於線段 $\overline{QQ'}$ 的長,也等於前的兩倍。因此,若 P 點的坐標是 ( $as-a\sin s,a-a\cos s$),則因為 J 的坐標是 (as,2a),所以,PC 弧的長等於 $2\sqrt{(a\sin s)^2+(a+a\cos s)^2}$。於是,AP 弧的長為 $4a(1-\cos\frac{s}{2})$

習題:試使用微積分方法證明上述有關擺線的弧長公式。

   

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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002