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幾何學中的海倫
擺線及其他
(第 4 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
.作者當時任教於師大數學系
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擺線的漸屈線

若曲線 C 的所有法線都是某一曲線 E 的切線,則曲線 E 稱為曲線 C 的「漸屈線」(evolute)。要討論曲線 C 的漸屈線,自然需要先討論曲線 C 的法線,但因法線是切線的垂直線,所以,我們需要先討論曲線 C 的切線。

擺線的切線如何求呢?我們知道當一動點 P 繞一固定點 I 旋轉時,P 點的軌跡是一圓弧,此圓弧在 P 點的切線就是過 P 點而與 $\overline{PI}$ 垂直的直線。當一滾動圓在一直線上作不滑的滾動時,我們沒有一個可做為旋轉中心的固定點,但是,在滾動過程中,滾動圓與底線在每個時刻都有一個切點,這個切點就是該時刻的瞬間旋轉中心。若在某個時刻的瞬間旋轉中心是 I,而圓上某定點在此時刻已移動到 P 點,則此定點所描繪的擺線在 P 點的切線,就是過 P 點而與 $\overline{PI}$ 垂直的直線 PJ,其中 J 是滾動圓過 I 的直徑的另一端點,直線 PI 則是此擺線過 P 點的法線。在直線 $\overline{PI}$ 上選取一點 P',使 I 點成為 $\overline{PP'}$ 的中點。若 P 點的坐標是 ( $as-a\sin s,a-as\cos s$),則因為 I 點的坐標是 (as,0),所以,P' 點的坐標是 ( $as+a\sin s,-a+a\cos s$)。當 P 點描繪出擺線時,所有對應的 P' 點描繪出什麼圖形呢?觀察 AP' 的相關位置,不難發現它們的位置關係,與擺線上的 C 點與參數是 $\pi+s$Q 點位置關係相同,因為 C 的坐標是 ($\pi a,2a$),而 Q 點的坐標是 ( $\pi a+as+a\sin s,a+a\cos s$)。換言之,當 P 點描繪圖三中的擺線弧 APC 時,對應的 P' 點就會描繪出與擺線 CQB 全等的弧 AP'A。 事實上,弧 AP'A' 乃是將弧 CQB 平移而得的(左移 $\pi a$ 單位、下移 2a 單位)。同理,當 P 點描繪出擺線弧 CQB 時,對應的 P' 點就會描繪出弧 A'Q'B,此弧乃是將擺線的下一拱的左半部分作同樣平移而得的。 因此,對整個擺線而言,當 P 點描繪出整個擺線時,對應的 P' 點會描繪出一個全等的擺線。若前者的參數方程式是 $x=at-a\sin t$,$y=a-a\cos t$,則後者的參數方程式為 $x=at+a\sin t$,$y=-a+a\cos t$, 後者乃是將前者先向左平移 $\pi a$ 單位,再向下平移 2a 單位而得的。我們將說明後者是前者的漸屈線。

因為 P' 點的軌跡是一個全等的擺線,所以它必是當一個半徑為 a 的圓在直線 y=-2a 上滾動時,由圓周上某定點描繪而成的。因為 P 點與 P' 點對 I 點對稱,所以當兩個滾動圓在 I 點相切時,上滾動圓通過 P 點而下滾動圓通過 P' 點。此時,P' 點的瞬間旋轉中心是直線 P'I' 與直線 y=-2a 的交點 I'。於是,直線 P'I' 是第二個擺線在 P' 點的法線,直線 P'IP 是第二擺線在 P' 點的切線。由此可知:原擺線的每條法線 PI 都與第二擺線相切。換言之,第二擺線是原擺線的漸屈線。

   

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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002