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幾何學中的海倫
擺線及其他
(第 6 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
.作者當時任教於師大數學系
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擺線的等時性質

在力學上,擺線具有很重要的性質,我們首先介紹它的等時性質 (tautochrone property)。

將擺線的一拱倒轉,亦即:對其底線作鏡射,則此段擺線的最高點 C 變成最低點,見圖三與五。此時,若一質點從此段擺線上任意點出發,在重力作用下沿擺線向下滑,則此質點到達最低點C所需的時間與出發點的位置無關,亦即:從任意兩相異點出發,它們到達C點的時間相同。這就是擺線的等時性質。

圖五是由擺線的一拱及其漸屈線等倒置而成,若我們以一條長為擺線一拱長之半的線繫住一個擺錘,另一端固定在漸屈線弧 AA'B 的中點 A'。當擺錘擺動時,線的上端纏在漸屈線上,而下端有一段拉直。由於線長等於擺線一拱長的一半,根據前小節的說明,擺錘擺動的路線就是圖五中的擺線孤。前段所提的等時性,則是表示:不論振幅為何,其週期是個定值,此定值等於 $2\pi\sqrt{(4a/g)}$,其中 a 是擺線的滾動圓的半徑,g 是重力加速度。

前段所提的設置,稱為擺線鐘 (cycloidal pendulum), 這是 Christiaan Huygens(1629∼1695年,荷蘭人)在1673年所發明的, 它是其有真正等時性的鐘擺。

要證明前面所提的等時性質,必須使用一些物理與微積分知識,讓我們略作說明如下:設倒置的擺線的參數方程式為 $x=a\theta-a\sin\theta,y=-a+a\cos\theta$,質點下滑的出發點 P 所對應的參數為 $\theta_0 \; (0<\theta_0<\pi)$。 (我們將參數 t 換成 θ,以免誤以為它就是時間。) 當質點下滑到參數為 θ 的點時,根據能量守恆定律,質點喪失的位能轉變成動能,所以質點在該處的瞬時速度為 $v(\theta) = \sqrt{2ag(\cos\theta_0-\cos\theta)}$



圖四

另一方面,弧長 s 的微分為

\begin{eqnarray*}
ds&=&\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} \\
&=&2a\sin\frac{\theta}{2}d\theta
\end{eqnarray*}


於是,質點滑落到最低點 C(見圖五)所需的時間為

\begin{displaymath}
\int_{\theta_0}^{\pi}\frac{2a\sin\frac{\theta}{2}d\theta}{\sqrt{2ag(\cos\theta_0-\cos\theta)}}
\end{displaymath}

此值等於 $\pi\sqrt{a/g}$,與 $\theta_0$ 無關,而擺線鐘的週期則是此值的四倍。前段證明的細節留給有興趣的讀者自行補足。



圖五

   

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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002