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幾何學中的海倫
擺線及其他
(第 14 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
.作者當時任教於師大數學系
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內、外擺線的漸屈線

若曲線 C 的所有法線都是某一曲線 E 的切線,則曲線 E 稱為曲線 C 的漸屈線。下面我們討論內擺線的漸屈線。

在圖十四中,I 是滾動圓圓心為 J 而定點為 P 時的瞬間旋轉中心,因此直線 I'PI 是該內擺線的一條法線。設 $\overline{DD'}$ 是固定圓的一條定直徑,有向角 $\angle AOD$$\frac{\pi}{k}$ 弧度,則因 $\angle I'OI$$\angle AOI$k 倍,所以,可得 $\angle D'OI'$$\angle IOD$(k-1) 倍。於是,$\angle JIP$$\angle IOD$$\frac{k}{2}$ 倍。

分別以 IO 為圓心各作一圓,使前者在 B 點與後者內切,而且 $\angle JIP$ 在前一圓中所對的弧長,與 $\angle IOD$ 在後一圓中所對的弧長相等。因為 OI=ka,所以,以 I 為圓心的圓的半徑為 $\frac{2ka}{k-2}$,而以 O 為圓心的圓的半徑為 $\frac{k^2a}{k-2}$。請注意:此二值與 P 的位置無關。

OD 與半徑為 $\frac{k^2a}{k-2}$ 的圓交於 C,過 B 至直線 II' 的垂直線的垂足為 N$\angle BIN$ 在半徑為 $\frac{2ka}{k-2}$ 的圓上所張的弧為 BF,則根據前段對半徑所作的選擇,可知弧 BC 與弧 BF 等長。換言之,若以 D 為圓心、 $\frac{2ka}{k-2}$ 為半徑作一圓,則此圓在半徑為 $\frac{k^2a}{k-2}$ 的圓的內部滾動到切點為 B 時,定點 C 移動到點 F、直線 CD 移動到直線 FII'。另外,再以 CD 為直徑作一圓,則此圓在直徑為 $\frac{k^2a}{k-2}$ 的圓內部滾動到切點為 B 時,定點 C 移動到點 N,而且此定點所描繪的內擺線與直線 FII' 相切於 N

根據前面的結果,可知:若以 O 為圓心、 $\frac{k^2a}{k-2}$ 為半徑作一個大固定圓,另以 $\overline{CD}$ 為直徑作一個大滾動圓(半徑為 $\frac{ka}{k-2}$),則定點 C 所描繪的內擺線與原有內擺線的所有法線相切。換言之,後一內擺線是原有內擺線的漸屈線,兩內擺線的固定圓與滾動圓的半徑之比 k 相等,但做為漸屈線的那條內擺線,則是原有內擺線的 $\frac{k}{k-2}$ 倍大。圖十五是一個五尖內擺線及其漸屈線。

習題:試仿照本小節的方法證明:外線的漸屈線也是一外擺線,兩外擺線的固定圓與滾動圓的半徑之比 k 相等,但漸屈線是原有外擺線的 $\frac{k}{k+2}$ 倍。



圖十四



圖十五

   

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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002