內擺線是滾動圓沿著固定圓的內部作不滑的滾動時，滾動圓上的定點所描繪的圖形。除了這種做法之外，我們也可以用直線系來包出一內擺線， 請看下面的說明。

設滾動圓的半徑為 a，固定圓的半徑為 ka，其中 k 是比 1 大的一個固定數。又設固定圓的圓心是 O，而滾動圓上的定點在出發時的位置是 A。設滾動圓到達某個位置時，其圓心為 J、與固定圓的切點為 I、以 為始邊而 為終邊的有向角是 t 弧度、滾動圓上的定點移動到 P，而直線 與滾動圓的另一交點為 Q（見圖九）。

因為此時刻的瞬間旋轉中心是 I，所以，內擺線過 P 點的切線就是遇 P 而與 垂直的直線，此垂直線就是直線 PQ，因為 是滾動圓的直徑而 P 點在滾動圓上。以 Q 為圓心，2a 為半徑作一圓：設此圓與射線 交於 R，則因為此圓的半徑是滾動圓約兩倍，而其圓心角 等於滾動圓圓心角 的一半，所以，可得

上式中的三個圓弧 IR、IP 與 IA 的圓心分別是 Q、J 與 O。

這個等式代表什麼意義呢？弧 IP 與弧 IA 的長相等，乃是由於滾動圓上的定點，由出發點 A 移動到 P 點時，滾動圓與固定圓的切點為 I。仿照這個說法，我們可以將「弧 IR 與弧 IA 等長」一事做如下的解說：作第二個滾動圓，其半徑為 2a，而且其上的定點在出發滾動前的位置也是 A 點，則當第二滾動圓滾動到與固定圓切於 I 點時，其上的定點恰好移動到 R 點、其圓心移動到 Q 點、過定點的直徑則移動成 。

因為直線 QR 與第一滾動圓所描繪的內擺線相切於 P 點，所以，前段所提的結果可說明如下： 取二個滾動圓、其半徑分別為 a 與 2a，出發滾動前，兩滾動圓都與固定圓內切於 A 點，且兩滾動圓都以此點為定點。設兩滾動圓滾動到其固定圓都內切於 I 點時，小滾動圓上的定點移動到 P、大滾動圓上的定點移動到 R，則大滾動圓過 R 的直徑，必與小滾動圓之定點所描繪的內擺線切於 P 點。

前面四段所介紹的內擺線的性質，很容易就可以推衍成外擺線的性質，其討論方法也很相似。

習題：試仿照本小節的方法，說明擺線也是直線的包絡線 (envelope)，見圖十二以為提示。

圖十二