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幾何學中的海倫
擺線及其他
(第 7 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
.作者當時任教於師大數學系
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擺線的最速降性質

擺線在力學上的另一項重要性質,乃是最速降性質 (brachistochrone property),我們說明如下。

若一質點在重力作用下,由 P 點沿著某曲線滑落到較低的 Q 點,設 PQ 不在同一鉛垂直線上,則當滑行的曲線是以 P 為尖點的一段倒轉的擺線弧時,質點由 P 點滑落到 Q 點所需的時間為最短。這就是擺線的最速降性質。

PQ 的坐標分別是 P(x1,y1)Q(x2,y2)x1 < x2y1 > y2,而 y=f(x) 是滿足 f(x1)=y1f(x2)=y2 的一個函數,仿照前小節的方法,可知一質點沿著曲線 y=f(x)P 點落到 Q 點所需的時間為

\begin{displaymath}
\int_{x_1}^{x_2}\frac{\sqrt{1+(f'(x))^2}}{\sqrt{2g(y_1-f(x))}}dx
\end{displaymath}

在所有此種函數 y=f(x) 中,那一個函數能使上述定積分的值最小,這個問題乃是「一個以函數(或曲線)為變數的極值問題」。研究這類問題的方法稱為「變分法」(calculus of variation)。它與微積分中討論極值的方法不相同,而且也困難得多。探討最速降曲線的問題,乃是變分學的先驅問題之一,一般的變分學書籍都會談到這個例子。

在最速降曲線問題中,有一個問題必須交待,那就是:對任意二點 P(x1,y1)Q(x2,y2)x1<x2y1>y2,有多少擺線以 P 為一尖點而又通過 Q 呢?答案是:恰有一條。這條擺線是這樣來的。首先,利用微積分或其他方法可以證明:恰有一個 $\theta \in (0,2\pi)$ 滿足下式:

\begin{displaymath}
\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-1+\cos\theta}{\theta-\sin\theta}
\end{displaymath}

然後,令 $a=\frac{x_2-x_1}{\theta-\sin\theta}$,則擺線 $x=x_1+a(t-\sin t)$, $y=y_1+a(-1+\cos t)$ 通過 PQ,而且 P 是一個尖點。

給了 PQ 兩點,我們怎麼作出這樣的擺線呢?任取一圓,使它與過 P 的水平直線切於 P 點且圓在水平直線下方。讓圓在水平直線下滾動,設定點 P 的軌跡與直線 PQ 交於 Q' 點。另取一圓,其半徑與前一圓的半徑之比為 $\overline{PQ} : \overline{PQ'}$,則將後一圓在過 P 的水平直線下滾動時, 定點 P 所描繪的軌跡,就是以 P 為一尖點且通過 Q 的擺線。

前段所提的作法,事實上與擺線的一項性質有關。若兩擺線的底線重合,且有一尖點重合,則其中任一擺線都可由另一擺線以重合尖點為中心,放大或縮小而得。換言之,任意二擺線部是相似的曲線。

   

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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002