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幾何學中的海倫
擺線及其他
(第 8 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
.作者當時任教於師大數學系
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擺線史話

本文中我們介紹了擺線的許多有趣性質,在最後一段裡,也來談談擺線的一些趣事。

在圓錐曲線發現之後,受到科學家最多關注的曲線應該算是擺線了,它曾經引起許多科學家的競爭與爭吵,有人甚至把它比喻成古臘時代特洛依戰爭中的海倫,而稱之為「the Helen of geometry」。

伽利略(1564∼1642年,義大利人)是最早注意到擺線的科學家之一,他在1599年曾經嘗試以操作的方法,來計算擺線的一拱與其底線間的面積,他將輪子在一直線上滾動,實地描繪出擺線的一拱,然後利用相同的材料做成擺線的一拱以及滾動圓,在天平上秤的結果發現擺線的一拱與三個滾動圓盤大致平衡,所以,擺線一拱的面積大約是滾動圓面積的三倍。 不過,伽利略卻覺得比值應該是無理數,所以,他猜測擺線一拱的面積是滾動圓面積的π倍。

擺線一拱的面積,是 Roberval 在1634年最先求得的。他在1638年還找到擺線之切線的作法。約在同一時期, 笛卡兒(1596∼1650年,法國人)與費瑪(P. de Fermat,1601∼1655年,法國人)也找到切線的作法。另外,Roberval 也討論過擺線的一拱,繞其底線旋轉所得旋轉體的體積。

就在 Roberval 研究擺線有所成就的時候,伽利略的一位學生托里拆利(E. Torricelli, 1606∼1647年,義大利人)也對擺線大感興趣。1643年,托里拆利出版一篇名為《De parabole》的作品,其中附帶提到擺線的求積法與切線的作法,但卻沒有提到 Roberval 在他之前已經得出這兩個結果。由於這個緣故,Roberval 曾在1646年寫信譴責托里拆利竊取他人的研究成果。對於這件事,後世數學史家認為托里拆利是受冤枉了,因為 Roberval 的成果直到1693年才發表。

1658年,曾經在四年前就放棄數學轉攻神學的天才數學家巴斯卡(B. Pascal, 1623∼1662年,法國人)發生一件趣事。有天晚上,巴斯卡因牙痛而睡不著覺,為了想忘掉疼痛,就專心思考擺線的性質,想著想著,牙齒竟然不痛了,巴斯卡認為這是上帝在給他提示,表示他研究數學並沒有惹上帝不高興。於是,他全心投入來探討擺線的性質,數天後,他就獲得一些與擺線有關的面積、體積與重心等方面的結果。他將研究所得寫成問題向當代數學家提出挑戰,並且設置兩個獎,還請 Roberval 擔任其中的一位評審人。也許因為沒能公告給多數人知道,或是因為時間太緊迫了,這次懸賞行動只收到 Antoine de Lalouvire(1600∼1664年,法國人)與華里斯(J. Wallis, 1616∼1703年,英國人)的回應,而且所送的解答中還有一些計算上的錯誤。所以,巴斯卡沒有頒獎,只將他自己的研究成果寫成〈Histoire de la roulette〉(擺線的歷史)一文予以發表。(當時的法國人將擺線稱為roulette。)結果呢?與賽的兩人因為沒有頒獎而不高興,而義大利的數學家們則為巴斯卡在〈擺線的歷史〉一文中沒有提到托里拆利而不痛快。

就在華里斯參加巴斯卡的挑戰的同時.另一位英國人雷恩(C. Wren, 1632∼1723年),將他所得的擺線弧長的求法寄給巴斯卡,這是巴斯卡不曾得到的結果。雷恩後來轉行去研究物理與建築,1666年倫敦大火後,雷恩就因為設計倫敦的聖保羅教堂而聞名。

擺線在力學方面的性質,等時性係 Huygens 所發現的,而最速降性質則是伯努力(J. Bernoulli, 1654∼1705年,瑞士人)在1690年發現的。

   

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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002