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幾何學中的海倫
擺線及其他
(第 15 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
.作者當時任教於師大數學系
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內、外擺線的弧長

要討論內擺線的弧長,我們也可使用漸屈線在弧長方面的特殊性質:設曲線 E 是曲線 C 的漸屈線,PQ 是漸屈線 E 上兩點。若曲線 CP'Q' 的法線,分別與漸屈線 E 切於 PQ,則漸屈線 E 上由 PQ 的弧長,等於 $\overline{PP'}$$\overline{QQ'}$ 兩線段的長之差。

在圖十六中,A 是內擺線 C 的一個尖點、A' 是其漸屈線 E 的一個尖點,而且漸屈線 E 上的 AA' 弧是一拱的一半,又設 $\overline{OA'}$ 與內擺線 C 交於 M



圖十六

若滾動圓的半徑為 a、固定圓的半徑為 ka,則 $\overline{OA}=ka$,而且依前小節的結果,可知

\begin{displaymath}
\begin{array}{rllll}
\overline{OA'} &=& \frac{k}{k-2}\times ...
...&=& \frac{k^2a}{k-2}-(k-2)a &=& \frac{4(k-1)a}{k-2}
\end{array}\end{displaymath}

根據前面所提的漸屈線弧長的性質,可知

AA' 的長 = $\overline{A'M}$ = $\frac{4(k-1)a}{k-2}$

由於弧 AA' 是漸屈線的一拱的一半,可知漸屈線 E 的一拱的長為 $\frac{8(k-1)a}{k-2}$;再依前小節的結果,可知內擺線 C 的一拱的長為 $\frac{8(k-1)a}{k}$。若 $k=\frac{q}{p}$,其中 pq 是互質的正整數,則內擺線 C 共有 q 拱,故其全長為 8(q-p)a

習題:仿本節的方法,證明:若固定圓與滾動圓的半徑之比為 k,則其一拱的長為 $\frac{8(k+1)a}{k}$。更進一步地,若 $k=\frac{q}{p}$,其中 pq 是互質的正整數,則外擺線共有 q 拱,其全長為 8(p+q)a

   

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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002