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幾何學中的海倫
擺線及其他
(第 11 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
.作者當時任教於師大數學系
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內、外擺線是封閉曲線嗎?

由於滾動圓只在固定圓附近滾動,我們自然會問道:在滾動過程中,定點會回到它的出發點 $[(k-\epsilon)a+\epsilon d,0]$ 嗎?

若定點會回到它的出發點,則必有一個不為 0 的參數值 t 滿足下面兩式:

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lr}
(k-\epsilon)a(1-\cos t_0)=-\epsilo...
...t_0=d\sin(k-\epsilon)t_0 & \quad \eqno{(3)}
\end{array}\right.
\end{displaymath}

將兩式平方並相加,即得

\begin{displaymath}
2(k-\epsilon)^2a^2(1-\cos t_0)=2d^2(1-\cos(k-\epsilon)t_0) \eqno{(4)}
\end{displaymath}

$(k-\epsilon)a+\epsilon d\neq0$ 時,由(2)與(4)兩式可以得 $1-\cos t_0=0$$1-\cos(k-\epsilon)t_0=0$。根據這兩個等式,可知 t0$(k-\epsilon)t_0$ 都是 $2n\pi$ 的形式,其中 n 是整數。由此可知:k 是一個有理數。

反之,若 k 是有理數 $\frac{q}{p}$,其中 pq 都是整數,令 $t_0=2p\pi$,則此參數值所對應的點就是出發點。

當定點回到其出發點後,小圓繼續向前滾動,定點也繼續描繪出圖形,不過,此時所描繪的圖形與剛出發時所描繪的圖形相同。因此,若定點會回到它的出發點, 則此定點所描繪的圖形是一條封閉的曲線。

$k=\frac{q}{p}$,其中 pq 是一對互質的正整數,則固定圓與滾動圓的圓周長之比為 q:p。於是,當滾動圓轉動 q 圈時,滾動圓上的定點會回到出發點,此時,滾動圓恰好環繞固定圓 p 圈。另一方面,因為 pq 互質,所以,當滾動圓轉動的圈數不到 q 圈時,定點絕對不會回到出發點。

另一方面,由參數方程式(1)很容易求得

\begin{displaymath}
X^2+Y^2=(k-\epsilon)^2a^2+d^2+2\epsilon(k-\epsilon)ad\cos kt \eqno{(5)}
\end{displaymath}

由上式可知:參數方程式(1)的圖形,夾在以原點為圓心、半徑分別為 $(k-\epsilon)a+d$$(k-\epsilon)a-d$ 的兩圓之間〔我們假設 $(k-\epsilon)a-d>0$〕。當 $k=\frac{q}{p}$pq 是互質的正整數時,滾動圓上的定點在滾動過程中,分別在兩圓上各出現 q 次,例如:與半徑為 $(k-\epsilon)+a\epsilon d$ 的圓相交於參數值為 0、 $\frac{(2\pi)}{k}$$\frac{(4\pi)}{k}$、……、 $\frac{2(q-1)\pi}{k}$ 等的 q 個點。 當a=d時(亦即:內、外擺線的情形),半徑為 $(k-\epsilon)a+\epsilon d$ 的圓就是固定圓,定點在固定圓上出現的點都是尖點,相鄰二尖點間的一段孤稱為該內、外擺線的一拱 (arch)。

圖十與六分別是一些內(次)擺線與外(次)擺線的圖形,每個圖形下方所附的比值是該圖形的 ka:a:d。若 $(k-\epsilon)a+\epsilon d\neq0$k 不是有理數,則方程式(1)的圖形不再是封閉曲線,因為此圖形與半徑為 $(k-\epsilon)a+\epsilon d$ 的圓,相交參數值為 0、 $\frac{(2\pi)}{k}$$\frac{(4\pi)}{k}$、……等的點,在 k 是無理數的情況下,這些參數值所對應的點都兩兩相異。

習題:本小節的討論都提到 $(k-\epsilon)a+\epsilon d\neq0$ 的假設,試討論 $(k-\epsilon)a+d=0$ 的情形。



圖十



圖十一

   

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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002