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幾何學中的海倫
擺線及其他
(第 3 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
.作者當時任教於師大數學系
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擺線下的面積

在圖二中,當圓向前滾動時,P 點描繪出擺線,那麼 P 點在直線 OI 上的垂足 M 點會描繪出什麼圖形呢?1634年,Gilles Persone de Roberval(1602∼1675年,法國人)考慮這條曲線,而利用它求出擺線的一拱與其底線間的面積。所以,後世將這條曲線稱為 Roberval 曲線。圖二中的虛線,就是 Roberval 曲線在擺線一拱內的部分,根據前一小節所討論的結果,不難發現 Roberval 曲線的方程式為 $y=a(1-\cos\frac{x}{a})$

在圖二中,$\overline{AC}$ 的中點是 $(\frac{\pi a}{2},a)$,而當 $0\leq x\leq\pi a$ 時,Roberval 曲線上的點 $(x,a-a\cos\frac{x}{a})$$(\frac{\pi a}{2},a)$ 的對稱點是 $(\pi a-x,a+a\cos\frac{x}{a})$。 因為此對稱點也在 Roberval 曲線上,所以,Robertval 曲線在 AC 間的部分對於點 $(\frac{\pi a}{2},a)$ 成對稱。(圖二中的 MN 就是一對對稱點。)由此可知:在以 $\overrightarrow{AD}$$\overrightarrow{CD}$ 為鄰邊的矩形中,Roberval 曲線將此矩形分成面積相等的兩個區域。更進一步可得:Roberval 曲線與 AB 所圍區域的面積,等於以 $\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{AD}$ 為鄰邊的矩形面積的一半,此值等於 $2\pi a^2$

其次,我們討論擺線與 Roberval 曲線間的區域面積。此區域在 C 點的左、右兩側的面積顯然相等,所以,我們只須討論此區域左側部分的面積。圖二中以 $\overline{AD}$ 為直徑的半圓,乃是滾動圓在出發時的左半部分,直線 PM 被此半圓截出一線段 $\overline{RL}$。因為兩圓大小相等,而直線 PM 與兩圓圓心等距離,所以,$\overline{RL}$ = $\overline{PM}$。因為每一條水平直線在兩區域上所截出的線段都等長,所以,依據 Bonaventura Cavalieri(1598∼1647年,義大利人)在1629年所提出的 Cavalieri 原理,這兩個區域的面積相等。因此,擺線與 Roberbval 曲線所圍的區域(左、右兩部分)與滾動圓面積相等,此值等於 $\pi a^2$

綜合前兩段的結果,可知擺線的一拱與其底線間的面積,等於滾動圓面積的三倍,亦即:$3\pi a^2$



圖二

附帶一提:Cavalieri 所提的原理,中國數學家祖沖之在西元五世紀就已用來計算球體的體積。

習題:試仿照本小節的方法,證明次擺線 $x=at-d\sin t$, $y=a-d\cos t$的一拱與直線 y=a-d 所圍區域的面積為: $2\pi ad+\pi d^2$

習題:試使用定積分計算上述所提的面積。

   

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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002