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幾何學中的海倫
擺線及其他
(第 13 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
.作者當時任教於師大數學系
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以定點描繪內、外擺線另一法

在圖十三中,有一個半徑為 a 的滾動圓,沿著一個圓心為 O 而半徑為 ka 的固定圓滾動,k>1。設滾動圓與固定圓的切點,由出發時的 A 點移動到 I 點,此時,滾動圓的圓心為 J 點,而滾動圓上的定點由出發時的 A 點移動到 P 點。



圖十三

設直線 PI 與固定圓的另一交點為 I',直線 OI 與滾動圓的另一交點為 Q,直線 OI' 與直線 PQ 交於 Q'。因為等腰三角形 $\triangle OII'$$\triangle JIP$ 的一個底角相同,所以它們相似,而由此可知 $\overline{JP}$$\overline{OI'}$ 平行。於是, $\triangle QOQ'$$\triangle QJP$ 相似,由此得 $\overline{OQ}=\overline{OQ'}$。更進一步得

\begin{displaymath}
\overline{I'Q'}=\overline{OI'}+\overline{OQ'}=ka+(k-2)a=2(k-1)a
\end{displaymath}

請注意: $\overline{I'Q'}$ 的長與 P 點的位置無關。以 $\overline{I'Q'}$ 為直徑作一圓,因為 $\overline{PI'}$$\overline{PQ'}$ 垂直,所以此圓通過 P 點。若此圓的圓心是 J',則 $\overline{OJ'} = a = \overline{JP}$,而由此可知 JPJ'O 是平行四邊形。於是,在圖十三的三圓中,弧 PI、弧 PI' 與弧 II' 對其圓心所張的角相等。由於較小的兩圓的半徑之和,a+(k-1)a,等於固定圓的半徑 ka,所以,弧 PI 與弧 PI' 的長之和等於弧 II' 的長。又因為弧 PI 的長等於弧 IA 的長,所以弧 PI' 的長等於弧 AI' 的長。

由前段所得的結果,可知:若我們作一個半徑為 (k-1)a 的圓,使它與固定點切於它的定點 A,則當它沿著固定圓向相反方向滾動時,其上的定點就會描繪出上述滾動圓所描繪的內擺線。

習題:試仿照上述方法說明描繪外擺線的另一種方法。

習題:試就內擺線的麥教方程式,討論前面所介紹的第二種描繪法。

   

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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002