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幾何學中的海倫
擺線及其他
(第 16 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
.作者當時任教於師大數學系
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內、外擺線所圍的面積

當固定圓與滾動圓的半徑之比 k 是一個正整數時,所得的內、外擺線都是封閉曲線,而且曲線沒有與本身相交(在內擺線的情形中必須設 k>2),所以,我們可以討論此曲線所圍區域的面積。

設內擺線 C 的滾動圓的半徑為 a,固定圓的半徑為 ka,k>2,而內擺線 C 所圍區域的面積為 A。設內擺線 C 的漸屈線為 E,因為漸屈線 E 是內擺線 C$\frac{k}{k-2}$ 倍,所以漸屈線 E 所圍區域的面積為 $(\frac{k}{k-2})^2A$。因為內擺線 C 所圍的區域包含在漸屈線 E 所圍的區域之內(見圖十五),所以,我們知道內擺線 C 與其漸屈線 E 間的區域面積為 $\frac{4(k-1)}{(k-2)^2}A$

因為內擺線 C 與漸屈線 E 間的區域被固定圓分成兩部分,所以,我們只需證明漸屈線 C 與固定圓間的面積等於內擺線 C 與漸屈線 E 間的面積的 $\frac{k^2}{4(k-1)^2}$倍,則可得

\begin{displaymath}
(\frac{k}{k-2})^2A-\pi k^2a^2=\frac{k^2}{4(k-1)^2}\cdot\frac{4(k-1)}{(k-2)^2}A
\end{displaymath}

由此即得 $A=\pi(k-1)(k-2)a^2$

最後,我們要交待前段所提的比值。在圖十四中,因為點 P 在內擺線 C 上,而直線 PQQ' 是過 P 的切線,同時過 P 的法線與漸屈線 E 相切於 N,所以鄉雨可知 $\triangle BIN$$\triangle QIP$ 相似,由此可得

\begin{eqnarray*}
\frac{\overline{NI}}{\overline{PI}} &=& \frac{\overline{BI}}{\...
...2}, \\
\frac{\overline{NI}}{\overline{NP}} &=& \frac{k}{2(k-1)}
\end{eqnarray*}


上述後一等式可以解釋成:由漸屈線 E 上每個點至內擺線 C 的「垂直」線段,部被固定圓截出比值占 k:(2k-2) 的一線段。由於比值是一個常數,所以,就像三角形被與其底邊平行的直線所截的情形, 我們可以下結論說:漸屈線 E 與固定圓間的面積,等於內擺線 C 與漸屈線 E 間的面積的 $\frac{k^2}{(2k-2)^2}$ 倍。這個結論利用微積分的方法可以作嚴密的證明。

習題:設外擺線 C 的滾動圓的半徑為 a、固定圓的半徑為 ka,其中 k 是任意正整數,試證 C 所圍區域的面積為 $\pi(k+1)(k+2)a^2$

(提示:內擺線情形中的比值 $\frac{k^2}{4(k-1)^2}$,在外擺線中應改為 $\frac{k^2}{4(k+1)^2}$

許多我們所熟知的曲線,都是內(次)擺線或外(次)擺線的特殊情形,像圓、橢圓、心臟線、蚶線、玫瑰線、星形線等,這些曲線除了做為內、外(次)擺線的特殊例子之外,更有它們本身的有趣性質,在本文之後的其他文章中,將會介紹這些曲線。

   

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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002