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．原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
．作者當時任教於臺大數學系

•註釋
 

代數學的故事

李白飛

 
 

朋友，你學過代數吧！那麼，請你說說看，代數學在學些什麼？解方程式？對了！不過，也許你要說，那是「中學代數」嘛，人家「大學代數」學的可是什麼群啦、環啦、體啦，一些玄而又玄的東西，那裏是解方程式呢？不錯，群、環、體等抽象的代數系統，的確是近世代數學所研究的對象，不過當初引進這些觀念，莫不是為了要有系統地處理方程式的問題。如果我們說，代數史就是解方程式的歷史，也不為過。現在讓我們來回顧一下代數學發展的歷史吧!


二次方程古已解之

早在數千年前，古巴比倫人和埃及人，即已著手於代數學的探索。雖然他們解決代數問題的方法，早已淹沒不彰，但是，很明顯的，從他們那高度發展的文明所帶來的種種成就，可以看出他們對很多的代數技巧相當熟習。譬如說，規劃那些規模宏大的建築，處理浩瀚的天文資料，以及推算各種曆法等，在在都必須知道解一次和二次方程的實際知識才行。巴比倫人和埃及人的數學，具有一個共同的特色，那就是「經驗主義」：一些計算法則，似乎都是由經驗得來。例如埃及人用

\begin{displaymath}A=(\frac{8d}{9})^2\end{displaymath}

來計算圓面積（其中 d 為圓之直徑），而巴比倫人則用

\begin{displaymath}d=h+\frac{w^2}{2h}\end{displaymath}

來求一高 h 寬 w 的長方形之對角線長（見圖一）。大致說來，他們對於尋求特殊問題之解答的興趣，遠比歸納某類問題的解法技巧來得高。


圖一：這的確是個相當不錯的近似公式。讀者不妨以 (h,w)=(4,3),(12,5),(24,7) 等實例去試試看。可以看出，在 h>w 時，這的確是個相當不錯的近似公式。我們知道。依照二項級數的展開， $d=\sqrt{h^2+w^2}=h(1+\frac{w^2}{h^2})^{\frac{1}{2}}$ $= h(1+\frac{1}{2}\cdot\frac{w^2}{h^2}+\cdots )$ $\doteqdot h+\frac{w^2}{2h}$（當h>w）只是不曉得巴比倫人是怎麼得來的。

特別值得一提的，是巴比倫人解方程式的能耐。根據出土的資料顯示，巴比倫人備有一些倒數、平方根和立方根的數值表以供應用。有一個記載著 u3+u2 的數值表，似乎是求 ax3+bx2=c 這類三次方程之近似解時所用 1 。至於二次方程式，巴比倫人顯然已能確實地解出。古巴比倫的文獻上，曾有這麼一個問題：求一個數使之與其倒數之和等於一已知數。用我們現在的語言來說，他們是要解

\begin{displaymath} x+\frac{1}{x} =b \end{displaymath}

事實上，這相當於解

x2-bx+1=0

這個二次方程；而他們已經曉得答案是

\begin{displaymath} \frac{b}{2} \pm \sqrt{(\frac{b}{2})^2-1} \end{displaymath}

此外，他們也曾處理類似下面這樣的問題：若一矩形之周長和面積皆已知，試求其長及寬。這幾乎已經是典型的二次方程式了，只不過巴比倫人僅討論具體的「應用問題」罷了。

 
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編輯：陳文是 最後修改日期：6/17/2002