代數學的故事 (第 15 頁)

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代數學的故事（第 15 頁）

李白飛

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．原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
．作者當時任教於臺大數學系

‧註釋
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代數幾何之發韌

在十九世紀，代數與幾何之間的第三個接觸點，便是代數曲線的理論。德國數學家黎曼(Riemann)一些輝煌的構想，為這個理論注入了很大的動力。概略地說，一條代數曲線便是滿足

$\begin{displaymath} y^n+a_1(x)y^{n-1}+a_2(x)y^{n-2}+\cdots+a_n(x)=0 \eqno{(6)} \end{displaymath}$

的全體複數序對 (x,y) 之集合。在這裏 a₁(x),a₂(x),…,a_n(x) 都是複係數的多項式。例如:

$\begin{displaymath} x^2+y^2=1,\, xy=1,\, x^3=y^2+y^3+xy \end{displaymath}$

等方程式的解集合便都是代數曲線。一般人可能習慣把代數曲線想成(6)式型態方程式之實數解集合，其實，若考慮複數解，則可避免沒有實數點的曲線之尷尬情形。例如， x²+y²=-1 這個方程式就沒有實數解，但是卻有很多的複數解，譬如 (i,0),(0,i)等都是。黎曼將代數曲線的許多幾何性質，用純代數的語言來表達，這樣便可將代數的工具用來解決幾何上的問題。從黎曼的研究成果，發展出了一門「代數幾何學」，這是當今數學中相當受重視的一個領域。在上世紀的整個世紀裏，代數學的發展與代數幾何學的發展可說是齊頭並進。代數的成果，推動了幾何的研究，反之亦然。

圖五：「閣下在大一所學到的積分，正是在下定義的。」──黎曼 (Riemann, 1826-1866)

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編輯：陳文是

最後修改日期：6/17/2002