代數學的故事 (第 5 頁)

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代數學的故事（第 5 頁）

李白飛

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．原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
．作者當時任教於臺大數學系

‧註釋
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三次方程的一般解

所謂「一般的」三次方程式，便是形如

x³+bx²+cx+d=0

的方程式，如果作 $y=x+\frac{b}{3}$ 的變數變換，則原方程式就變成

$\begin{displaymath} y^3+py+q=0 \eqno{(1)} \end{displaymath}$

因此只要考慮這種型態的三次方程就夠了。卡當最初發表時是用 x³+6x=20 這個例子來說明他的解法，在此我們不妨考慮較一般的

$\begin{displaymath} x^3+mx=n \eqno{(2)} \end{displaymath}$

其中 m 與 n 為正數。卡當引進兩個新變數 t 和 u，而令

$\begin{displaymath} t-u=n \; , \; tu=(\frac{m}{3})^3 \end{displaymath}$

消去其中一個變數，再解所得之二次方程式，得到

$\begin{displaymath} t=\sqrt{\frac{n^2}{4} + \frac{m^3}{27}} + \frac{n}{2} , \; u=\sqrt{\frac{n^2}{4} +\frac{m^3}{27}} -\frac{n}{2} \end{displaymath}$

卡當用幾何的方法證明

$\begin{displaymath} x=\sqrt[3]{t} -\sqrt[3]{u} \end{displaymath}$

為(2)式之一個根，這可能與「大舌頭」得的根相同。

圖二：卡當在《Ars Magma》書中，舉實例說明他的解法。上方 cub⁹ p:6 reb⁹ ae $\bar{q}$ lis 20 用近代數學表法就是 x³+6x=20。

儘管當時已經是十六世紀，負數的觀念仍然受到歐洲人的排斥。所以，卡當（或許「大舌頭」也一樣）又解了

$\begin{displaymath} x^3=mx+n \; \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 184}} \; x^3+n=mx \end{displaymath}$

兩種型態的三次方程。雖然卡當也把負數稱為「幻數」，在他的書中負根和正根倒是兼容並蓄。不過，卡當對於虛根卻忽略不計，他管這種導致虛根的方程式叫「錯誤」的問題。我們知道一個三次方程有三個根，所以，卡當的討論並不完備，直到兩個世紀後的1732年，才由歐拉 (Euler) 彌補完全。歐拉強調一個三次方程式永遠有三個根，並且指出如何得到這些根：若 ω 和 $\omega^2$ 表 1 的兩個立方虛根，也就是

x²+x+1=0

的兩個根，則 t 和 u 的立方根分別為 $\sqrt[3]{t}$ , $\sqrt[3]{t}\omega$ , $\sqrt[3]{t}\omega^2$ 和 $\sqrt[3]{u}$ , $\sqrt[3]{u}\omega$ , $\sqrt[3]{u}\omega^2$ ，如此，則

$\begin{displaymath} x_1=\sqrt[3]{t} -\sqrt[3]{u} \, ,\, x_2=\sqrt[3]{t}\omega -... ...mega^2 \, ,\, x_3=\sqrt[3]{t}\omega^2 -\sqrt[3]{u}\omega \, , \end{displaymath}$

即為(2)式之三個根。同樣的道理，(1)式的三個根是

$\begin{displaymath} \begin{array}{lrcr} y_1=& \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{D}} &... ...{D}} &+& \omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2} -\sqrt{D}} \\ \end{array}\end{displaymath}$

在這裡 $D=\frac{q^2}{4} +\frac{p^3}{27}$ 是三次方程(1)的判別式。看到這樣美妙的式子，我們無法不讚嘆和欽敬發現者的聰穎。

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編輯：陳文是

最後修改日期：6/17/2002