代數學的故事 (第 16 頁)

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代數學的故事（第 16 頁）

李白飛

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．原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
．作者當時任教於臺大數學系

‧註釋
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數論同蒙其利

幾何學並非十九世紀中，唯一與代數交流而豐收的一門數學，數論是另外一個受益的園地。簡單地說，數論是在研究 0, $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ ,… 這些整數的性質。數論是數學中最古老的一門，但是卻歷久而彌新。多少世紀以來，一直是其他各門數學中無盡的新觀念之泉源。當然，我們不可能一一列舉所有因考慮數論問題而產生的代數觀念，不妨就看一看大家不太陌生的「費瑪最後定理」這個例子吧！

在平面幾何的教科書上，我們常常見到邊長為整數的直角三角形，尤其以勾、股、弦分別為 3,4,5 的三角形最為常見。根據商高定理（即畢氏定理），如果直角三角形的兩股長為 x 和 y，斜邊長為 z，則

$\begin{displaymath} x^2+y^2=z^2 \eqno{(7)} \end{displaymath}$

假使我們想要找出邊長為整數的所有直角三角形，那就等於要找出(7)式的所有正整數解，也就是說 x、y、z 都是正整數的解。我們可以證明，(7)式所有的整數解是

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{lcc} x&=&c(a^2-b^2) \\ y&=&2abc \\ z&=&c(a^2+b^2) \\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

我們可以很容易地驗算，對所有的整數 a、b、c，上式恒為(7)式的解。

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編輯：陳文是

最後修改日期：6/17/2002