代數學的故事 (第 18 頁)

　1│2│3│4│5│6│7│8│9│10│11│12│13│14│15│16│17│18│19　

代數學的故事（第 18 頁）

李白飛

首頁 | 搜尋

．原載於科學月刊第十卷第四期、第十卷第五期
．作者當時任教於臺大數學系

‧註釋
‧對外搜尋關鍵字

奇案久懸難斷

費瑪在戴氏書上討論(7)式的那一頁這樣宣稱：若 n > 2，則 xⁿ+yⁿ=zⁿ 沒有非零的整數解。還有，他說他「發現了一個真正神妙的證明，可惜頁邊空白太窄寫不下」。費瑪的這個敘述，後來被稱為「費瑪最後定理」，至於費瑪本人是否正確地證明過，則不無疑問。事實上。僅管費瑪以來這三個多世紀，數學的進展一日千里，然而截至目前，費瑪最後定理仍未能證明，而成為數學上最有名的懸案之一 ⁹ 。為證明這個定理所作的嘗試，產生了更美麗、更重要的數學，近代的「代數數論」、「環論」等就是在這種努力下的智慧結晶。

圖六：「信不信由你！ x¹979+y¹979=z¹979 沒有正整數解。」──費瑪(Fermat, 1601-1665)

雖然費瑪最後定理的正確性，至今仍然懸而未決，但是對於一些特殊的 n 則已獲得證明。費瑪本人就曾證明過 n=4 的情形。其實，要證明費瑪最後定理，只要考慮 n=4 和 n 為奇質數的情形就夠。我們撇開 n=4 的情形，光說

$\begin{displaymath} x^p+y^p=z^p \eqno{(8)} \end{displaymath}$

其中p為奇質數的情形。1835年德國的庫瑪 (Kummer) 是第一個有系統地處理(8)式的人。若

$\begin{displaymath} \zeta_p=\cos\frac{2\pi}{p} +i\sin\frac{2\pi}{p} \end{displaymath}$

庫瑪把形如

$\begin{displaymath} a_0+a_1\zeta_p+\cdots +a_r\zeta_p^r \end{displaymath}$

的複數稱為一個「p分圓整數」，這裏的 a₀,a₁,…,a_r 都是一般的整數。庫瑪考慮這種「p分圓整數」的理由，是因為

$\begin{displaymath} x^p+y^p=(x+y)(x+y\zeta_p)\cdots (x+y\zeta_p^{p-1}) \end{displaymath}$

可以完全分解成「p分圓整數」的乘積。他的構想是由此分解證明(8)式沒有非零的「p分圓整數」解，從而證明費瑪的定理。

庫瑪的老師狄瑞西利 (Dirichlet) 向他指出證明中的一個錯誤，那就是，一般整數均可表為質數的乘積，且表法唯一，但「p分圓整數」就不見得如此，庫瑪便仔細研究因式分解的唯一性，發現確實只有對某些特殊的質數p才成立。因此，他那關於費瑪最後定理的證明，只能算是對了一小部分。這該歸咎於他那疏忽的假定。然而，對數學本身而言，這是一次多麼幸運的疏忽啊！因為庫瑪為了彌補因式分解不一定唯一的缺憾，他創造了「理想數」的概念 ¹⁰ 。庫瑪對於理想數的深入研究，便是近代環論的肇始。

　1│2│3│4│5│6│7│8│9│10│11│12│13│14│15│16│17│18│19　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：陳文是

最後修改日期：6/17/2002