擺線在力學上的另一項重要性質，乃是最速降性質 (brachistochrone property)，我們說明如下。
若一質點在重力作用下，由 P 點沿著某曲線滑落到較低的 Q 點，設 P 與 Q 不在同一鉛垂直線上，則當滑行的曲線是以 P 為尖點的一段倒轉的擺線弧時，質點由 P 點滑落到 Q 點所需的時間為最短。這就是擺線的最速降性質。
設 P 與 Q 的坐標分別是 P(x1,y1) 與 Q(x2,y2)，x1 < x2 且 y1 > y2，而 y=f(x) 是滿足 f(x1)=y1 與 f(x2)=y2 的一個函數，仿照前小節的方法，可知一質點沿著曲線 y=f(x) 由 P 點落到 Q 點所需的時間為
在所有此種函數 y=f(x) 中，那一個函數能使上述定積分的值最小，這個問題乃是「一個以函數（或曲線）為變數的極值問題」。研究這類問題的方法稱為「變分法」(calculus of variation)。它與微積分中討論極值的方法不相同，而且也困難得多。探討最速降曲線的問題，乃是變分學的先驅問題之一，一般的變分學書籍都會談到這個例子。
在最速降曲線問題中，有一個問題必須交待，那就是：對任意二點 P(x1,y1) 與 Q(x2,y2)，x1<x2 且 y1>y2，有多少擺線以 P 為一尖點而又通過 Q 呢？答案是：恰有一條。這條擺線是這樣來的。首先，利用微積分或其他方法可以證明：恰有一個
 滿足下式：
然後，令
 ，則擺線
 ,
 通過 P 與 Q，而且 P 是一個尖點。
給了 P、Q 兩點，我們怎麼作出這樣的擺線呢？任取一圓，使它與過 P 的水平直線切於 P 點且圓在水平直線下方。讓圓在水平直線下滾動，設定點 P 的軌跡與直線 PQ 交於 Q' 點。另取一圓，其半徑與前一圓的半徑之比為
 ，則將後一圓在過 P 的水平直線下滾動時，
定點 P 所描繪的軌跡，就是以 P 為一尖點且通過 Q 的擺線。
前段所提的作法，事實上與擺線的一項性質有關。若兩擺線的底線重合，且有一尖點重合，則其中任一擺線都可由另一擺線以重合尖點為中心，放大或縮小而得。換言之，任意二擺線部是相似的曲線。
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