幾何學中的海倫 (第 15 頁)

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幾何學中的海倫
擺線及其他（第 15 頁）

趙文敏

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．原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
．作者當時任教於師大數學系
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內、外擺線的弧長

要討論內擺線的弧長，我們也可使用漸屈線在弧長方面的特殊性質：設曲線 E 是曲線 C 的漸屈線，P 與 Q 是漸屈線 E 上兩點。若曲線 C 過 P' 與 Q' 的法線，分別與漸屈線 E 切於 P 與 Q，則漸屈線 E 上由 P 至 Q 的弧長，等於 $\overline{PP'}$ 與 $\overline{QQ'}$ 兩線段的長之差。

在圖十六中，A 是內擺線 C 的一個尖點、A' 是其漸屈線 E 的一個尖點，而且漸屈線 E 上的 AA' 弧是一拱的一半，又設 $\overline{OA'}$ 與內擺線 C 交於 M。

圖十六

若滾動圓的半徑為 a、固定圓的半徑為 ka，則 $\overline{OA}=ka$ ，而且依前小節的結果，可知

$\begin{displaymath} \begin{array}{rllll} \overline{OA'} &=& \frac{k}{k-2}\times ... ...&=& \frac{k^2a}{k-2}-(k-2)a &=& \frac{4(k-1)a}{k-2} \end{array}\end{displaymath}$

根據前面所提的漸屈線弧長的性質，可知

弧 AA' 的長 = $\overline{A'M}$ = $\frac{4(k-1)a}{k-2}$

由於弧 AA' 是漸屈線的一拱的一半，可知漸屈線 E 的一拱的長為 $\frac{8(k-1)a}{k-2}$ ；再依前小節的結果，可知內擺線 C 的一拱的長為 $\frac{8(k-1)a}{k}$ 。若 $k=\frac{q}{p}$ ，其中 p 與 q 是互質的正整數，則內擺線 C 共有 q 拱，故其全長為 8(q-p)a。

習題：仿本節的方法，證明：若固定圓與滾動圓的半徑之比為 k，則其一拱的長為 $\frac{8(k+1)a}{k}$ 。更進一步地，若 $k=\frac{q}{p}$ ，其中 p 與 q 是互質的正整數，則外擺線共有 q 拱，其全長為 8(p+q)a。

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編輯：李渭天 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002