若曲線 C 的所有法線都是某一曲線 E 的切線，則曲線 E 稱為曲線 C 的漸屈線。下面我們討論內擺線的漸屈線。

在圖十四中，I 是滾動圓圓心為 J 而定點為 P 時的瞬間旋轉中心，因此直線 I'PI 是該內擺線的一條法線。設 是固定圓的一條定直徑，有向角 為 弧度，則因 是 的 k 倍，所以，可得 是 的 (k-1) 倍。於是， 是 的 倍。

分別以 I 及 O 為圓心各作一圓，使前者在 B 點與後者內切，而且 在前一圓中所對的弧長，與 在後一圓中所對的弧長相等。因為 OI=ka，所以，以 I 為圓心的圓的半徑為 ，而以 O 為圓心的圓的半徑為 。請注意：此二值與 P 的位置無關。

設 OD 與半徑為 的圓交於 C，過 B 至直線 II' 的垂直線的垂足為 N、 在半徑為 的圓上所張的弧為 BF，則根據前段對半徑所作的選擇，可知弧 BC 與弧 BF 等長。換言之，若以 D 為圓心、 為半徑作一圓，則此圓在半徑為 的圓的內部滾動到切點為 B 時，定點 C 移動到點 F、直線 CD 移動到直線 FII'。另外，再以 CD 為直徑作一圓，則此圓在直徑為 的圓內部滾動到切點為 B 時，定點 C 移動到點 N，而且此定點所描繪的內擺線與直線 FII' 相切於 N。

根據前面的結果，可知：若以 O 為圓心、 為半徑作一個大固定圓，另以 為直徑作一個大滾動圓（半徑為 ），則定點 C 所描繪的內擺線與原有內擺線的所有法線相切。換言之，後一內擺線是原有內擺線的漸屈線，兩內擺線的固定圓與滾動圓的半徑之比 k 相等，但做為漸屈線的那條內擺線，則是原有內擺線的 倍大。圖十五是一個五尖內擺線及其漸屈線。

習題：試仿照本小節的方法證明：外線的漸屈線也是一外擺線，兩外擺線的固定圓與滾動圓的半徑之比 k 相等，但漸屈線是原有外擺線的 倍。

圖十四

圖十五