幾何學中的海倫 (第 2 頁)

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幾何學中的海倫
擺線及其他（第 2 頁）

趙文敏

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．原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
．作者當時任教於師大數學系
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擺線的參數方程式

在圖二中，設 A 點是滾動圓上的定點在出發時的位置。我們選取一個坐標系，使得 A 點為原點而且滾動圓在 x 軸上向右滾動。假設動圓滾動到某位置時，圓心為 O，O 點至 x 軸的垂足為 I，圓上的定點的位置為 P(x,y)，以 $\overrightarrow{OP}$ 為始邊， $\overrightarrow{OI}$ 為終邊的有向角為 t 弧度，P 點至直線 OI 的垂足為 M。又設滾動圓的半徑為 a。

因為滾動圓上的定點已由A點移動到P點，而滾動圓與x軸的切點已由 A 點轉移到 I 點，所以，滾動圓上的弧 PI 滾過線段 $\overline{AI}$ ，亦即： $\overline{AI}$ = 弧 PI 的長 = at。於是，可得

$\begin{eqnarray*} x & = & \overline{AI}-\overline{PM}=a(t-\sin t) \\ y & = & \overline{OI}-\overline{OM}=a(1-\cos t) \end{eqnarray*}$

上面的表示法就是擺線的參數方程式。請注意：當 $\pi<t<2\pi$ 時， $x=\overline{AI}+\overline{PM}$ ；當 $\frac{\pi}{2}<t<\frac{3\pi}{2}$ 時， $y=\overline{OI}-\overline{OM}$ 。不過， $x=a(t-\sin t)$ 與 $y=a(1-\cos t)$ 兩式卻對所有 t 值都成立。我們甚至可讓參數 t 代表任意實數，如此，擺線成為可向兩邊無限延伸的週期曲線。x 坐標每經歷一段長度為 $2\pi a$ 的區間，圖形就恢復原狀。擺線與底線相交的點都是尖點 (cusp)。

當參數 t 由 0 增至 $2\pi$ 時，擺線就是圖二中由 A 至 C 至 B 的部分，其中 $AB=2\pi a$ ，這一部分圖形稱為擺線的一拱 (arch)。同理，t 由 2π 至 4π、由 4π 至 6π、……等所對應的圖形也都是一拱。

仿照前面的方法，我們也可求次擺線的參數方程式。假設一定點與滾動圓的圓心的距離為 d，底線是 x 軸，出發時定點的坐標為 (0,a-d)，其中 d 是滾動圓的半徑。當動圓滾到圖二所示的位置時，定點的位置在 $\overrightarrow{OP}$ 上且與 O 點的距離為 d。由此可知其參數方程式為

$\begin{displaymath} x=at-d\sin t\quad,\quad y=a-d\cos t \end{displaymath}$

習題：試根據上面參數方程式，說明長擺線 (d>a) 為什麼會與本身相交而形成迴圈（見圖一的下圖）。

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編輯：李渭天 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002