在圖二中，當圓向前滾動時，P 點描繪出擺線，那麼 P 點在直線 OI 上的垂足 M 點會描繪出什麼圖形呢？1634年，Gilles Persone de Roberval（1602∼1675年，法國人）考慮這條曲線，而利用它求出擺線的一拱與其底線間的面積。所以，後世將這條曲線稱為 Roberval 曲線。圖二中的虛線，就是 Roberval 曲線在擺線一拱內的部分，根據前一小節所討論的結果，不難發現 Roberval 曲線的方程式為 。

在圖二中， 的中點是 ，而當 時，Roberval 曲線上的點 對 的對稱點是 。 因為此對稱點也在 Roberval 曲線上，所以，Robertval 曲線在 A 與 C 間的部分對於點 成對稱。（圖二中的 M 與 N 就是一對對稱點。）由此可知：在以 與 為鄰邊的矩形中，Roberval 曲線將此矩形分成面積相等的兩個區域。更進一步可得：Roberval 曲線與 AB 所圍區域的面積，等於以 與 為鄰邊的矩形面積的一半，此值等於 。

其次，我們討論擺線與 Roberval 曲線間的區域面積。此區域在 C 點的左、右兩側的面積顯然相等，所以，我們只須討論此區域左側部分的面積。圖二中以 為直徑的半圓，乃是滾動圓在出發時的左半部分，直線 PM 被此半圓截出一線段 。因為兩圓大小相等，而直線 PM 與兩圓圓心等距離，所以， = 。因為每一條水平直線在兩區域上所截出的線段都等長，所以，依據 Bonaventura Cavalieri（1598∼1647年，義大利人）在1629年所提出的 Cavalieri 原理，這兩個區域的面積相等。因此，擺線與 Roberbval 曲線所圍的區域（左、右兩部分）與滾動圓面積相等，此值等於 。

綜合前兩段的結果，可知擺線的一拱與其底線間的面積，等於滾動圓面積的三倍，亦即：。

圖二

附帶一提：Cavalieri 所提的原理，中國數學家祖沖之在西元五世紀就已用來計算球體的體積。

習題：試仿照本小節的方法，證明次擺線 , 的一拱與直線 y=a-d 所圍區域的面積為： 。

習題：試使用定積分計算上述所提的面積。