幾何學中的海倫 (第 11 頁)

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幾何學中的海倫
擺線及其他（第 11 頁）

趙文敏

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．原載於科學月刊第二十卷第十一期、第二十卷第十二期
．作者當時任教於師大數學系
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內、外擺線是封閉曲線嗎？

由於滾動圓只在固定圓附近滾動，我們自然會問道：在滾動過程中，定點會回到它的出發點 $[(k-\epsilon)a+\epsilon d,0]$ 嗎？

若定點會回到它的出發點，則必有一個不為 0 的參數值 t 滿足下面兩式：

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{lr} (k-\epsilon)a(1-\cos t_0)=-\epsilo... ...t_0=d\sin(k-\epsilon)t_0 & \quad \eqno{(3)} \end{array}\right. \end{displaymath}$

將兩式平方並相加，即得

$\begin{displaymath} 2(k-\epsilon)^2a^2(1-\cos t_0)=2d^2(1-\cos(k-\epsilon)t_0) \eqno{(4)} \end{displaymath}$

當 $(k-\epsilon)a+\epsilon d\neq0$ 時，由(2)與(4)兩式可以得 $1-\cos t_0=0$ ， $1-\cos(k-\epsilon)t_0=0$ 。根據這兩個等式，可知 t₀ 與 $(k-\epsilon)t_0$ 都是 $2n\pi$ 的形式，其中 n 是整數。由此可知：k 是一個有理數。

反之，若 k 是有理數 $\frac{q}{p}$ ，其中 p 與 q 都是整數，令 $t_0=2p\pi$ ，則此參數值所對應的點就是出發點。

當定點回到其出發點後，小圓繼續向前滾動，定點也繼續描繪出圖形，不過，此時所描繪的圖形與剛出發時所描繪的圖形相同。因此，若定點會回到它的出發點，則此定點所描繪的圖形是一條封閉的曲線。

若 $k=\frac{q}{p}$ ，其中 p 與 q 是一對互質的正整數，則固定圓與滾動圓的圓周長之比為 q:p。於是，當滾動圓轉動 q 圈時，滾動圓上的定點會回到出發點，此時，滾動圓恰好環繞固定圓 p 圈。另一方面，因為 p 與 q 互質，所以，當滾動圓轉動的圈數不到 q 圈時，定點絕對不會回到出發點。

另一方面，由參數方程式(1)很容易求得

$\begin{displaymath} X^2+Y^2=(k-\epsilon)^2a^2+d^2+2\epsilon(k-\epsilon)ad\cos kt \eqno{(5)} \end{displaymath}$

由上式可知：參數方程式(1)的圖形，夾在以原點為圓心、半徑分別為 $(k-\epsilon)a+d$ 與 $(k-\epsilon)a-d$ 的兩圓之間〔我們假設 $(k-\epsilon)a-d>0$ 〕。當 $k=\frac{q}{p}$ 且 p 與 q 是互質的正整數時，滾動圓上的定點在滾動過程中，分別在兩圓上各出現 q 次，例如：與半徑為 $(k-\epsilon)+a\epsilon d$ 的圓相交於參數值為 0、 $\frac{(2\pi)}{k}$ 、 $\frac{(4\pi)}{k}$ 、……、 $\frac{2(q-1)\pi}{k}$ 等的 q 個點。當a=d時（亦即：內、外擺線的情形），半徑為 $(k-\epsilon)a+\epsilon d$ 的圓就是固定圓，定點在固定圓上出現的點都是尖點，相鄰二尖點間的一段孤稱為該內、外擺線的一拱 (arch)。

圖十與六分別是一些內（次）擺線與外（次）擺線的圖形，每個圖形下方所附的比值是該圖形的 ka:a:d。若 $(k-\epsilon)a+\epsilon d\neq0$ 且 k 不是有理數，則方程式(1)的圖形不再是封閉曲線，因為此圖形與半徑為 $(k-\epsilon)a+\epsilon d$ 的圓，相交參數值為 0、 $\frac{(2\pi)}{k}$ 、 $\frac{(4\pi)}{k}$ 、……等的點，在 k 是無理數的情況下，這些參數值所對應的點都兩兩相異。

習題：本小節的討論都提到 $(k-\epsilon)a+\epsilon d\neq0$ 的假設，試討論 $(k-\epsilon)a+d=0$ 的情形。

圖十

圖十一

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編輯：李渭天 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002