曲線的漸屈線在弧長方面有一個重要性質，這個性質對擺線的討論特別有用，我們先介紹這項性質。此性質的證明只需使用微積分的方法即可。

設曲線 E 是曲線 C 的漸屈線，P 與 Q 是曲線 C 上兩點，曲線 C 過 P、Q 的法線分別與漸屈線 E 相切於 P'、Q'，則在漸屈線 E 上，弧 P'Q' 的長等於 與 兩線段長的差。

在圖四中， 比 小，所以，P'Q' 弧的長等於 。這個性質可以作下面的幾何解說： 假設有一條線纏繞在漸屈線 E 上，現在將一端點拉緊在 P 點，此時，在 P' 往 Q' 的部分，線仍然纏在漸屈線上，但在 P' 往 P 的部分，則已經拉直成線段。接著，將線繼續拉緊解開，纏在 P'Q' 弧上的線逐漸被拉成線段，此時，因為有前面所提的性質，所以，在將線拉緊解開的過程中，線的端點必定沿著曲線 C 由 P 點移向 Q' 點。

以擺線為例，在圖三中的漸屈線弧 AP'A' 中，不論 P' 點的位置在弧上何處，AP'A' 弧的長度都是等於 P'A' 弧的長加上線段 的長。將 P' 趨近 A'，則 P 趨近 C。因此，擺線弧 AP'A' 的長等於線段 的長，此值為 4a。因為擺線弧 AP'A' 與擺線弧 CQB 全等，其長是擺線一拱 ACB 的一半，所以，可知：若滾動圓的半徑為 a，則擺線一拱的長度為 8a。

圖三

同理，在圖三中，PC 弧的長等於 Q'B 弧的長，此值等於線段 的長，也等於前的兩倍。因此，若 P 點的坐標是 ( )，則因為 J 的坐標是 (as,2a)，所以，PC 弧的長等於 。於是，AP 弧的長為 。

習題：試使用微積分方法證明上述有關擺線的弧長公式。