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.原載於科學月刊二十七卷第九卷 .作者當時任教於台大數學系 | ||
圓的分割
蔡聰明 |
數學是先有探索階段的發現或提出猜測,然後才有鞏固階段的邏輯證明例,兩者缺一不可。歷來的數學教學,偏重後者,而輕忽前者,造成數學的「面目可憎」,現在是應該調整的時侯了。 一般而言,數學的求知活動,遵循下列的流程圖:
問題發現證明溶匯入數學理論之大海
我們不妨稱之為數學的「求真理之路」(the way of truth)。 詳細一點來說,由一個有趣的問題為起點,作思考與知識的總動員,先發現到規律(解決問題之道或猜測),然後再提出「證明」。只有發現,求知活動並未完成,因為數學家堅持要有「證明」,證明是數學的商標,沒有證明就沒有數學。發現與證明兼具,才算完全。通得過證明的「猜測」(conjecture),就變成公式或定理;被否證的猜測,就要放棄;暫時無法證明,也無法否證的猜測,就讓它保留為「猜測」的地位,例如數論中的 Goldbach 猜測。 一個問題解決之後,我們往往會對周邊相關的問題也產生興趣,這自然導致「類推」(analogy) 與「推廣」(generalization) 的工作。最後,將這一切結果溶匯入既有的數學理論之大海中,作全面的觀照,並且組織成有機知識整體,得到「無上妙趣的了悟之樂」,這是求知最大的報酬。 具體問題的解決,豐富且增益了一般理論的內涵;反過來,一般理論猶如一個更高的觀點,俯視且統合著各式各樣的具體問題,讓我們一目了然。理論與實際的巧妙平衡,求知才是一種快樂,而不是一種負擔。
在數學中,例子比規則有用。我們就用一個例子來闡釋上述的流程圖。
如何發現公式或找尋規律? 這當然有很多方法,從特例觀察作歸納、試誤法、類推法,到想像力的飛躍,甚至「任何方法都行」(anything goes)。此時容許犯錯,因而可以「從錯誤中學習」。反正最後還有邏輯證明來把關,排除掉錯誤。
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編輯:黃信元 / 繪圖:張琇惠 | 最後修改日期:2/17/2002 |