圓的分割 (第 2 頁)

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圓的分割（第 2 頁）

蔡聰明

．原載於科學月刊二十七卷第九卷
．作者當時任教於台大數學系
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初步歸納但失敗

今A_n表示領域的個數，首先我們觀察圖一的特例。觀察了這五個特例，我們猜測或歸納出一般公式：

$\begin{displaymath} A_n=2^{n-1}, \quad n \in \mathbf{N} \end{displaymath}$

(1)

此式成立嗎？讓我們檢驗 n=6（圖二）的情形，結果發現：

$\begin{displaymath} A_6=31\neq 2^5 \end{displaymath}$

因此，(1)式不成立！

圖一

圖二

在上述中，我們由填空題

$\begin{displaymath} 1,2,4,8,16,(\quad) \end{displaymath}$

猜測出通項公式 A_n=2^n-1，從而 $A_6=(\quad)=32$ 。事實上，若設第六項為 π，我們仍然可以求得一個通項公式，使得前五項為 1,2,4,8,16，例如：

$\begin{displaymath} A_n=2^{n-1}+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\frac{\pi-32}{120} \end{displaymath}$

(2)

甚至，我們將 π 改為任何實數亦可。實際上，我們可以找到無窮多個不同公式，適配 (fit) 有限多項的數據。這叫做歸納法的詭論。

所謂（枚舉）歸納法就是由特例的觀察，猜測出一般規律。因此，它是對未知的一種「投石問路」，「從有涯飛躍到無涯」的大膽猜測。這個猜測在理論上有無窮多種可能，故可能對，也可能錯，必須再經過證明或否證才能加以判別。

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編輯：黃信元 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：2/17/2002