圓的分割 (第 6 頁)

　1│2│3│4│5│6│7│8│9│10　

圓的分割（第 6 頁）

蔡聰明

．原載於科學月刊二十七卷第九卷
．作者當時任教於台大數學系
‧對外搜尋關鍵字

差分方程法

根據前述，我們知道數列A_n滿足下列的一階差分方程式：

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} \bigtriangleup A_n=\frac{1}{6}(n^3-3n^2+8n)\\ A_1=1 \end{array}\right. \end{displaymath}$

(7)

我們欲求解(8)式。首先注意到

$\begin{displaymath} \frac{1}{6}(n^3-3n^2+8n)=\frac{1}{6}n^{(3)}+n^{(1)} \end{displaymath}$

其中

$\begin{displaymath} n^{(k)}=n(n-1)\cdots(n-k+1) \end{displaymath}$

由差分公式

$\begin{displaymath} \bigtriangleup n^{(k)}=kn^{(k-1)} \end{displaymath}$

求解(8)式，得到

$\begin{displaymath} A_n=\frac{1}{24}n^{(4)}+\frac{1}{2}n^{(2)}+C \end{displaymath}$

再由初期條件 A₁=1，得知 C=1，從而

$\begin{displaymath} A_n=\frac{1}{24}n^{(4)}+\frac{1}{2}n^{(2)}+1 \end{displaymath}$

(8)

此式跟(5)式或(7)式，只是外表不同，實質上是完全相同的。

　1│2│3│4│5│6│7│8│9│10　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：黃信元 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：2/17/2002