圓的分割 (第 8 頁)

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圓的分割（第 8 頁）

蔡聰明

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．原載於科學月刊二十七卷第九卷
．作者當時任教於台大數學系
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應用 Euler 公式

在平面圖 (planar graph) 理論裡，有一個著名的 Euler 公式：

V-E+F=2

(15)

其中 V,E,F 分別代表頂點數，邊數與領域數，並且 F 包括有一個無窮的領域。例如，在圖五中，V=4，E=6，F=4。永遠不要低估一個數值守恆公式！

圖五

因為

F=1+ 內部的領域數

由(16)式知

$\begin{displaymath} \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 113}... ...pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}}=1+E-V \end{displaymath}$

(16)

現在回到問題二，顯然

V=C(n,4)+n

(17)

所以只要求出邊數E就好了。我們將邊分成三類：

: (甲)原凸n邊形的邊
: (乙)邊的兩個端點皆為內點
: (丙)邊的兩個端點是內點與原凸n邊形的頂點

(甲)的答案顯然是n。因為凸n邊形的每一個頂點都可跟其他n-3個頂點連結而得到(丙)型的邊，所以(丙)的答案是n(n-3)。今在每一個內部頂點都有四個邊交會，故 $4\cdot C(n,4)$ ，包含了所有(乙)型的邊，但(乙)重複點算一次，並且(丙)也點算一次，故

$\begin{displaymath}4\cdot C(n,4)=2\times(\mbox{\hskip 1.2pt plus0.4pt minus0.2pt... ...inus0.1pt{\fontfamily{cwM3}\fontseries{m}\selectfont \char 6}})\end{displaymath}$

另一方面

$\begin{displaymath}2\times(\mbox{\hskip 1.2pt plus0.4pt minus0.2pt{\fontfamily{c... ...\fontfamily{cwM3}\fontseries{m}\selectfont \char 6}})=2n+n(n-3)\end{displaymath}$

兩式相加得

$\begin{displaymath}2\times(\mbox{\hskip 1.2pt plus0.4pt minus0.2pt{\fontfamily{c... ...M3}\fontseries{m}\selectfont \char 6}})=4\cdot C(n,4)+2n+n(n-3)\end{displaymath}$

兩邊同除以2得

$\begin{displaymath} E=(\mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 6... ...ries{m}\selectfont \char 6}})=2\cdot C(n,4)+n+\frac{n(n-3)}{2} \end{displaymath}$

(18)

以(18)與(19)兩式代入(17)式得

$\begin{eqnarray*} B_n &=& 1+[2\cdot C(n,4)+n+\frac{n(n-3)}{2}]-[C(n,4)+n] \\ &=& C(n,4)+C(n-1,2) \end{eqnarray*}$

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編輯：黃信元 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：2/17/2002