圓的分割 (第 9 頁)

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圓的分割（第 9 頁）

蔡聰明

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．原載於科學月刊二十七卷第九卷
．作者當時任教於台大數學系
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倒退思考法

假設凸 n 邊形的所有對角線已連結完成，我們不直接去點算分割的領域數，而改採還原的辦法，逐次拿掉對角線，以觀察領域數的減少規律，直到拿掉最後一條對角線時，只剩下一個領域 (即原凸多邊形)。整個過程總共減少的領域數為

$\begin{eqnarray*} L &=& (\mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char... ...us0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}}+1) \end{eqnarray*}$

此式就是內部交點數與對角線條數之和。今內部交點數為C(n,4)，對角線的條數為 C(n,2)-n，所以

L_n=C(n,4)+(C(n,2)-n)

從而總領數為

$\begin{eqnarray*} B_n &=& L_n+1 \\ &=& (C(n,4)+C(n,2)-n)+1 \\ &=& C(n,4)+C(n-1,2) \end{eqnarray*}$

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編輯：黃信元 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：2/17/2002