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由枚舉歸納法所猜得的公式，要證明的話，通常就採用數學歸納法。
前者是一種發現方法，後者是一種特定形式的演繹法，兩者有關聯，
但不相同。
最常見的情形是要證明一個敘述 P(n) ，對所有自然數 n 都成立。這要用到自然數系 N 的一個基本特性：由 1 出發，逐次加 1，就可以窮盡所有的自然數。
對應過來，就是數學歸納法的證明形式：
- (i)
起點：驗證 P(1) 成立；
- (ii)
遞移機制：對任意自然數 n，假設 P(n) 成立，然後推導出 P(n+1) 也成立。
兩個步驟合起來就證明了：
對所有
 ， P(n) 都成立。
要利用數學歸納法證明(5)式就是分割圓的領域數，起點（n=1）顯然是成立的，其次是驗證遞移機制。為此，我們先預備一個踏腳石。
- 補題：
圓周上已有 n 個點 P1, P2,…,Pn，若再增加一點 Pn+1，則分割圓所增加的領域數為
![\begin{displaymath}
\sum_{j=1}^n[(j-1)(n-j)+1]=\frac{1}{6}(n^3-3n^2+8n)
\end{displaymath}](img16.gif) |
(5) |
圖三
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- 證明：
在圖三中，我們考慮連結 Pn+1 與 Pj 兩點所增加的領域數。因為在上方的點 P1, P2,…,Pj-1 與下方的點
Pj+1, Pj+2,…,Pn 正好可連成 (j-1)(n-j) 條直線，它們跟直線 Pn+1Pj 相交於 (j-1)(n-j) 個點，所以增加的領域數為 (j-1)(n-j)+1。
從 j=1 到 j=n 求和，得到(6)式，就是所求的答案。
現在作歸納假設，今圓周上 n 個點時，將圓分割成
個領域，再增加第 n+1 個點時，由上述補題知，領域數變成
經過化簡，得到
這表示將(5)式中的 n 改為 n+1 也成立。因此，由數學歸納法得證：對所有
，(5)式就是我們所欲追尋的正確公式。
比較起來，我們第二度歸納所得的(5)式是 n 的四次多項式；而初次歸納得到的(1)式是個指數函數，基本上它是 n 的無窮多項式；兩者的深淺相差很多。下面我們再從各種觀點來求解這個問題。一題多解可以開拓思路，提昇眼界。
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![\begin{displaymath}
A_{n+1}=\frac{1}{24}(n+1)n[(n+1)^2-5(n+1)+18]+1
\end{displaymath}](img19.gif){kind=small}