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圓的分割 （第 3 頁）

蔡聰明

 

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．原載於科學月刊二十七卷第九卷
．作者當時任教於台大數學系
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進一步歸納找出規律

我們相信上述問題有規律可循，但規律藏得比(1)式還要深，必須採用更細緻的歸納法 ，也許可以發現。

仔細觀察，當圓周上每增加一點時，數列

\begin{displaymath} \begin{array}{ccccccc} A_1,&A_2,&A_3,&A_4,&A_5,&A_6,&\cdots\... ...rt&\Vert&\Vert&\Vert&\Vert&\Vert&\\ 1&2&4&8&16&31& \end{array}\end{displaymath}

的變化情形


\begin{eqnarray*} \triangle A_1&=&A_2-A_1=1\\ \triangle A_2&=&A_3-A_2=1+1\\ \t... ...e A_5&=&A_6-A_5=1+4+5+4+1\\ \triangle A_6&=&A_7-A_6=1+5+7+7+5+1 \end{eqnarray*}


這有點像巴斯卡(Pascal)三角形：


\begin{displaymath} \begin{array}{crr} 1&\cdots&\triangle A_1\\ 1\quad1&\cdots&... ...quad5\quad1&\cdots&\triangle A_6\\ \cdots\cdots& & \end{array}\end{displaymath}

我們猜測其組成規律是，每一斜列都是等差數列，首項皆為 1，但公差依次為 0,1,2,3,…。因此，第 k 橫列一共有 k 項，如下：

\begin{displaymath} 1,k,2k-5,3k-11,4k-19,\cdots \end{displaymath}

其中第 j 項的通式為

(j-1)k-[j(j-1)-1]

化簡得
\begin{displaymath} (j-1)(k-j)+1,j=1,2,\cdots ,k \end{displaymath} (3)

於是圓周上 k 個點 P1, P2,…,Pk 再增加一點 Pk+1 時，所增加的領域數為
\begin{displaymath} \triangle A_k=\sum_{j=1}^k[(j-1)(k-j)+1] \end{displaymath} (4)

從而由差和分根本定理得到

\begin{eqnarray*} A_n&=&A_1+\sum_{k=1}^{n-1}A_k\\ &=&1+\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{j=1}^k[(j-1)(k-j)+1] \end{eqnarray*}


所以 $A_n=\frac{1}{24}n(n-1)(n^2-5n+18)+1$。

顯然(15)式比(1)式還要進步。但(5)式就是我們所要追尋的答案嗎？到目前為止，這只是一個猜測。

   

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編輯：黃信元 ／ 繪圖：張琇惠 最後修改日期：2/17/2002