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圓的分割 （第 7 頁）

蔡聰明

 

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．原載於科學月刊二十七卷第九卷
．作者當時任教於台大數學系
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計算頂點數與角度

我們再介紹組合學的另一種巧妙算法。先將原問題修飾一下。

問題二：圓周上的n個點，連結成一個凸n邊形，作所有的對角線，假設沒有 三線共點，問此凸n邊形被分割成幾個領域？

假設答案為 Bn，對於各個領域，我們很容易計算頂點數與角度，透過這些計算結果， 我們就可以求得Bn。

在分割完成後之各領域中，令 nk 表示 k 邊形領域的個數，再假設最多邊的領域是 m 邊形。首先點算頂點的個數，三邊形有三個頂點，四邊形有四個頂點，等等，總共的頂點數為

\begin{displaymath} 3n_3+4n_4+5n_5+\cdots+mn_m \end{displaymath} (9)

此式包括許多重複的點算。因為每個內部頂點皆為兩條對角線之交點，所以它是四個領域的頂點，在(10)式中計算了四次。至於原凸n邊形的每個頂點都是n-2個三角形之頂點，故都點算了n-2次。因此，
\begin{displaymath} \begin{eqalign} \lefteqn{ 3n_3+4n_4+5n_5+\cdots+mn_m } \\ ... ...{m}\selectfont \char 98}}) \\ &= 4C(n,4)+(n-2)n \end{eqalign}\end{displaymath} (10)

其次，我們計算各領域的角度。k 邊形的內角和為 $(k-2)\cdot180^{\circ}$，故總角度為
\begin{displaymath} \begin{eqalign} \lefteqn{ n_3\cdot180^{\circ} + n_4\cdot360^... ... &= C(n,4)\cdot360^{\circ}+(n-2)\cdot180^{\circ} \end{eqalign}\end{displaymath} (11)

這一次沒有重複計算。(12)式除以 $180^{\circ}$ 得到
\begin{displaymath} n_3+2n_4+3n_5+\cdots+(m-2)n_m=2\cdot C(n,4)+(n-2) \end{displaymath} (12)

(11)式 - (13)式得到

\begin{displaymath}2n_3+2n_4+2n_5+\cdots+2n_m=2\cdot C(n,4)+(n-1)(n-2)\end{displaymath}

兩邊同除以 2，得到
\begin{displaymath} B_n=n_3+n_4+\cdots+n_m=C(n,4)+C(n-1,2) \end{displaymath} (13)

從而，

An=Bn+n=C(n,4)+C(n-1,2)+n (14)

注意到，(5)式、(7)式，(9)式與(15)式都相等。

   

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編輯：黃信元 ／ 繪圖：張琇惠 最後修改日期：2/17/2002