蔡聰明

離散的或連續的？ 點與線段的三個基本問題 畢氏學派的萬有皆整數與調和 歐氏的幾何學研究綱領 解析幾何 微積分的誕生 微積分的基礎 集合論 測度論 數學是無窮之學

這是一個平凡的問題，但是極具深度且源遠流長，它從古希臘開始就涉及了「有窮」與「無窮」的論爭。本文我們嘗試由「點有多大？」的觀點切入，循著「無窮」的腳步，走一趟數學之旅，作一個簡要的歷史回顧。

空間或幾何圖形，都是由「點」所組成的。因此，欲透過點的性質來掌握圖形的性質，乃是順理成章的一件事。

我們很自然要問：點有沒有長度？

在約兩千五百年的漫長歲月中，數學家提出了各種答案，從畢氏學派的「點有一定的大小，長度不為 0」，到歐幾里得的「點只占有位置， 而沒有長度」，再到牛頓與萊布尼慈的「無窮小」解釋，這些答案跟歐氏幾何、解析幾何、微積分、集合論以及測度論的發展，具有密切的關聯。

離散的或連續的？

大自然的結構與組成要素，其生成、變化與運動之道，自古以來就是哲學家與科學家熱烈討論的主題。由此產生了下面三個萬古常新的問題：

(i)物質的結構問題 (the structure of matter);

(ii)物體的變化與運動問題 (the problem of change and motion);

(iii)科學知識的結構與成長問題 (the problem of structure and growth of scientific knowledge)。

對於物質的結構問題，讓我們作個想像的實驗 (thought experiment)：如果將一塊泥土不斷地分割下去，最後會得到什麼呢？

這可以分成以下的離散 (discrete) 與連續 (continuous) 兩派來解釋。

這一派又叫做原子論派 (atomism)，主張：分割物質，在很大的「有窮步驟」之內就會抵達「不可分割」的境地，叫做「原子」(atom)；萬物都是原子組成的。原子不生不滅，其不同的排列組合，導致了大自然的生成與變化之道。

離散派或有窮派最主要的代表人物，是畢達哥拉斯（Pythagoras，約西元前585∼500）、留基波斯（Leucippus，約西元前460∼390）與德謨克列特斯（Democritus，約西元前460∼370）等人。

這一派主張：物質是連續的，可以作「無窮步驟」的分割，沒完沒了。但是，分割到最後會剩下什麼，卻陷入困局。如果回答說是「空無」(nothing)，那麼物質是由空無組成的，這種「無中生有」(something out of nothing) 是不可思議之事。如果回答說是「無窮小」(infinitesimal)，那麼什麼是無窮小？這更令人困惑。

我們舉幾個連續派的例子。在春秋戰國末期，公孫龍（約西元前325∼250）說：

一尺之棰，日取其半，萬世不竭。

古希臘哲學家安那薩哥拉斯（Anaxagoras，西元前500∼428）說：

在小當中沒有最小，因為小中恆有更小。 (In the small there is no smallest, there is always a smaller.)

這跟老子所說的「至大無外，至小無內」有異曲同工之妙。再如，英國諷刺小說家斯威夫特（Swift，1667∼1745，即《Gulliver 遊記》的作者）也說：

在一隻跳蚤身上有一隻更小的跳蚤在吸吮，在更小的跳蚤身上又有一隻更小更小的跳蚤在吸吮；如此繼續下去，永世不竭。

上述例子，都是連續派或無窮派的最佳寫照。