牛頓與萊布尼慈，在1680年左右分別發現微積分根本定理，但是並沒有給出證明；
到了1820年代才由柯西（Cauchy, 1789∼1857）首次給出不完全的證明。
在證明的過程中，首先必須澄清極限概念（無窮小的概念更困難）以及連續函數的基本性質，而這些又都建立在實數系 R 上面。因此，我們要問：什麼是實數系？
笛卡兒與費瑪利用座標系的辦法，直觀地將「實數系 R」與「連續的直線」，等同起來，因而創立解析幾何。但是，這樣對於實數系我們還是沒有真正的了解。
比較建構性的辦法是，由 1 出發，不斷加 1，就得到自然數系：
N = {1,2,3,...}
再不斷減 1，就得到整數系：
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
接著考慮整數的相除（除數不為 0），得到有理數系：
讓我們回頭考察畢氏學派「萬有皆整數」的觀點，畢氏學派以為有理數系（整數及其比值），就足以應付一切幾何的度量問題。換言之，將 Q 的元素表現為直線坐標系已經填滿整條直線而沒有漏洞，叫做有理數線。後來畢氏學派發現了無理點（無理數），例如  與
 ，才知道有理數線還有許多缺口。
將所有的無理數加進有理數中，就是實數系 R。同理，在有理數線上補入所有的無理點，就得到實數線 (the real line)。實數線還有缺口嗎？
戴德金（R. Dedekind, 1831∼1916）與康特（G. Cantor, 1845∼1918）如笛卡兒與費瑪一樣，他們認為：實數線已是「天衣無縫」，沒有缺口。這是實數系完備性（或叫連續性）最直觀生動的說法。換個方式來說：將實數線切割成兩段，必切到一個實數點。明確地說，若 A 與 B 為實數系的兩個非空子集合，滿足
則稱 (A,B) 為 R 的一個戴德金切斷（Dedekind Cut），A 叫做下段，B 叫做上段。實數系的完備性 (completeness) 是說：
如果 (A,B) 為實數系 R 的一個戴德金切斷，那麼上段 B 含有一個最小元素或下段 A 含有一個最大元素。
兩者必擇其一
事實上，完備性有許多等價的 (equivalent) 說法，最常見而好用的說法如下：
- (i)
區間套的說法：若
並且
則
並且
- (ii)
遞增且有上界的數列必有極限，即若
並且
則極限值
 存在（當然為實數）。
- (iii)
設
 。若 A 有上界，則 A 必有唯一的最小上界
 ，即若  ，則存在唯一的
，使得對 A 的任何上界 n，恆有  。
利用實數系的完備性以及極限的
 與  定式，就可以證出連續函數的基本性質。例如中間值定理 (Intermediate Value Theorem)，在閉區間 [a,b] 上的連續函數是有界的、均勻連續的，並且取得最大值與最小值。由此，進一步可證出微積分根本定理。從而整個微積分堅實地奠定在實數系上面。
- 再問：實數系的完備性為什麼成立呢？
這就必須實際建構實數系了。此地我們只簡介戴德金的建構法：考慮有理數系 Q 的切斷(cut)，然後將 Q 的每一個戴德金切斷等同為一個實數，一次就系統地完成 Q 的「煉石補天」工作；定義出實數系 R，再定義四則運算與大小關係，最後可證得 R 是一個完備的有序體 (a complete ordered field)。至此，微積分的尋根究底工作告一段落，這是1870年左右完成的。
總之，點與實數，連續的直線與完備的實數系皆合一。點的長度為 0，線段含有無窮多點，是連續的，這不只是含糊的直觀而已，而是可以有戴德金完備性的說法；進一步，還可以從 Q 建構出 R 並且證得 R 的完備性。
另一方面，微積分也可以建立在「無窮小論證法」上面。不過，無窮小的理論基礎一直要等到1960年代才由邏輯家羅賓森（A. Robinson, 1918∼1974）完成，今日叫做非標準分析學（Nonstandard Analysis）。
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![\begin{displaymath}[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\cdots\supset[a_n,b_n]\supset\cdots\end{displaymath}](img25.gif){kind=small}
![\begin{displaymath}
\bigcap_{n=0}^\infty [a_n,b_n] = \{x_0\} \quad (\mbox{{\font...
...pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98} } x_0)
\end{displaymath}](img27.gif)
