十八世紀的弦振動問題與十九世紀初的熱傳導現象之研究，發展出富立葉分析 (Fourier Analysis)：「任何周期函數，都可以展開成三角級數。」為了理論的研究，需要嚴格地定義積分，因而產生黎曼積分 (Riemann integral, 1854)。到了十九世紀末，逐漸發現黎曼積分不夠用，而且有許多缺陷。於是在本世紀初，勒貝格（H. Lebesgue, 1875∼1941）提出「測度積分論」以補足黎曼積分的不足。

先前康特已經證明有理數集是可列的，實數集是不可列的連續統。大家都公認點的長度為 0，如果要按原子論的精神，用點的長度累積出更複雜的集合的長度（或叫測度），從而對廣泛一類子集皆指定有測度，那麼問題就變得相當詭譎而微妙 (delicate and subtle)：

(i) 如果要求測度具有「不可列加性」(uncountably additive)，那麼每一個子集的測度皆為 0，違背常理，無法保住常識。

(ii) 如果要求測度只具「有窮可加性」(finitely additive)，那麼我們只能對有窮子集談測度，且其測度為 0，這太貧乏了。

(iii) 如果要求測度具有「可列加性」(countably additive) 之折衷條件，那麼也只能做出可列集的測度（皆為 0），仍然太貧乏。

因此，只用點當「原子」，再按「加性」延拓出去，顯然是不夠的。勒貝格的解決之道是：把「原子」增多，除了點之外，還加上區間。這兩者的測度（長度）都是直觀顯明的：點的長度為 0，區間 [a,b]、(a,b]、[a,b)、(a,b) 的長度都是 b-a。以此當出發點，透過可列遮蓋 (countable cover) 的逼近手法，作出更複雜且夠豐富的子集之測度，合起來得到一個測度空間。這是一個相當完備的體系，足以承載豐富的分析學；特別地，也適用於機率論。