當托勒密 (Ptolemy) 國王問學於歐氏：「學幾何有沒有捷徑？」歐氏回答說：

在幾何學之中，並沒有皇家大道。 (There is no royal road in geometry.)

兩千年來幾何都沒有什麼進展，一直等到十七世紀笛卡兒（Descartes, 1596∼1650）與費瑪（Fermat, 1601∼1665）獨立地發明解析幾何，才被譽為找到了「幾何的皇家大道」。

歐氏之後，大家都接受：點的長度為 0，直線由點所組成的並且是連續的。雖然我們無法由點的長度累積出線段的長度，但是在常識上每個人對線段都有直觀的長度概念，因此並不煩惱。

解析幾何利用坐標系將「連續的直線」與「直觀的實數系」等同起來，進一步將平面上的點跟數對 (x,y) 對應起來，使得方程式 f(x,y)=0 與幾何圖形可以互相轉化，溝通了代數學與幾何學。從此，代數的工於計算與幾何的富於直觀，達到「魚與熊掌」可以兼得的境界，數與形又合一。

解析幾何一方面解放了歐氏幾何，另一方面又為微積分的發明舖路。另一個重要意義是，人們辦到了古希臘哲學家辦不到的事情，給人增添無比的信心。笛卡兒說：

當我領悟到可以將一條直線、一條曲線表成方程式時，讓我感受到美如《伊里亞特》（Iliad，為荷馬所作之史詩）。當我看見這個方程式在我的手中解出來時，綻放出無窮的真理，光耀奪目、毫無可疑、永恆美麗，我相信我擁有了一把可以進入每一個神秘之門的鑰匙。

這種信心的普遍根植，在十七世紀後半葉完成了數學與物理學的革命。