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蔡聰明

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．原載於科學月刊第二十六卷第八期、第九期
．作者當時任教於台大數學系
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微積分的誕生

根據歐式幾何的定義：點只佔有位置，沒有大小；線段只有長度，沒有寬度；面只有長度與寬度，但沒有厚度。因此，歐氏的點、線、面都不生存在這個現實世界，而生存在柏拉圖的「理念與形的世界」(the Plato's world of ideas and forms)。任何在紙面上做出的幾何圖形都不正確，所以有人說：「幾何學就是利用不正確的圖形，做正確推理的藝術。」

線段由無窮多個點組成，而點的長度為 0，無窮多個 0 加起來會等於線段的長嗎？這個難題使得局部的點與大域的線段之間，存有不可踰越的鴻溝 (gap) 而無法銜接，這就是「無窮」所產生的鴻溝。

同理，求面積與體積的問題也遇到了類似的困難。長久以來，數學家想出各種替代方案，例如窮盡法、不可分割法、無窮小法、動態窮盡法等等，但這些都只是個案解決問題，並不是普遍的系統方法。

到了牛頓（Newton, 1642～1727）與萊布尼慈（Leibniz, 1646～1716）的手上，雖然點沒有長度，但是他們在直線坐標系上引入「無窮小」dx，作為「點的長度」之解釋與積分的對象。由此逐步發展出微分法，解決求面積的千古難題，創立了微積分。

下面我們就來重建這個偉大的發現過程。如圖一所示，考慮線段 [a,b]，將它分割成 n 段（不必等分），分割點為

$\begin{displaymath}a = x_1 < x_2 < \cdots < x_k < x_{k+1} < \cdots < x_{n+1} = b \eqno(1)\end{displaymath}$

圖一

令第 k 段的長度為 $\Delta x_k=x_{k+1}-x_k$ ，再將 n 段全部加起來，就得到

$\begin{displaymath} \sum_{k=1}^n\Delta x_k=x_k \big\vert _1^{n+1}=x_{n+1}-x_1=b-a \eqno(2) \end{displaymath}$

現在讓分割越來越細，n 越來越大，不過(2)式仍然成立。由於線段是連續的，可以作無窮步驟的分割；今想像已經分割到使每一小段都變成「無窮小」，在 x 點處的無窮小記為 dx，於是(2)式連續化變成積分公式：

$\begin{displaymath} \int_a^bdx = x \big\vert _a^b = b-a \eqno(3) \end{displaymath}$

積分記號 $\int_a^bdx$ 表示無窮多個無窮小，從 a 到 b 連續地求和。

亞里斯多德說：「線段不是由點組成的」，其實他的意思是說：「線段的長度，不是由點的長度累積而成的。」(3)式告訴我們，線段的長度是由局部的無窮小 dx 累積（即積分）而得到的，這初步解決了問題 2。我們稱(3)式為完美的積分規則 (the perfect integral rule)。

其次，如圖二所示，考慮一個函數 y=F(x)，定義在 [a,b] 上。對於(1)式之分割，相應地將函數圖形台階化，第 k 階的升（降）高度為

$\begin{displaymath}\Delta F(x_k)=F(x_{k+1})-F(x_k) \eqno(4)\end{displaymath}$

圖二

於是將 n 階的升降高度全部加起來，就是從 P 點沿著台階登到 Q 點的純升高 F(b)-F(a)，亦即

$\begin{displaymath}\sum_{k=1}^n\Delta F(x)=F(b)-F(a) \eqno(5)\end{displaymath}$

作連續化得到

$\begin{displaymath}\int_a^bdF(x)=F(b)-F(a)\eqno(6)\end{displaymath}$

其中積分 $\int_a^bdF(x)$ 表示無窮小的小精靈沿著 y=F(x) 的圖形，每一階升降的高度為

$\begin{displaymath}dF(x)=F(x+dx)-F(x)\eqno(7)\end{displaymath}$

然後對 x 從 a 到 b 連續地求和。

另一方面，考慮一個連續函數 y=f(x)，其圖形在 [a,b] 上所圍成領域之面積。這可以看成是無窮多個無窮小的長方形 f(x)dx，對於 x 從 a 到 b 連續地求和，即積分 $\int_a^bf(x)dx$ ，參見圖三。

圖三

: 問題4：如何求算積分 $\int_a^bf(x)dx$ ？

由(6)式即知，如果 f(x)dx 可以表成 dF(x) 之形，或

$\begin{displaymath}\frac{dF(x)}{dx}=f(x),\forall x\in[a,b] \eqno(8)\end{displaymath}$

那麼答案就是 F(b)-F(a)。

定理一（微積分學根本定理）：

設 f 為定義在 [a,b] 上的一個連續函數。如果可以找到另一個函數 F，使得(8)式成立，則

$\begin{displaymath} \int_a^bf(x)dx = F(x) \big\vert _a^b = F(b)-F(a) \eqno(9) \end{displaymath}$

此式叫做 Newton-Leibniz 公式。

問：什麼是算術根本定理、代數學根本定理？

牛頓與萊布尼慈獨立地看出這個定理，所以後世史家就把微積分的發明歸功於他們兩個人。

什麼是無窮小 dx？顯然它不能等於 0，否則又會落入「無中生有」的陷阱。但是它也不能為一個有限正數，因為這會產生由無窮多個正數累積成無窮長的線段，跟常識矛盾。無窮小是經過無窮步驟的分割而得到的，故它「要多小就有多小」，是活生生的。不過，這又跟「不等於 0」矛盾，因為一個實數若其絕對值可以「要多小就有多小」，那麼它必等於 0。因此，無窮小具有「不等於 0，並且要多小就有多小」之矛盾性格，這逼得無窮小不是一個實數，無窮小概念之詭譎可見一斑。

點的長度為 0，無窮小 dx 不等於 0。無窮小才是積分的對象，而不是點！利用無窮小可以幫忙我們看出微積分！

由 F(x) 求出 $\frac{dF(x)}{dx}$ 叫做微分；給 f(x)，求 F(x) 使得(8)式成立，叫做反微分。定理一告訴我們，問題4之積分解決於反微分的求算；反微分的演算又建基於微分的演算。因此，我們說微分法解決了求積分之難題。此外， $\frac{dF(x)}{dx}$ 可以解釋為切線斜率、速度、密度、放大率、變化率等等。

例子: 設 $F(x)=\frac{1}{3}x^3$ ，則

$\begin{eqnarray*} \frac{dF(x)}{dx} & = & \frac{F(x+dx)-F(x)}{dx} \\ & = & \fra... ...}\fontseries{m}\selectfont \char 196}} dx \neq 0) \\ & = & x^2 \end{eqnarray*}$

（因 dx 要多小就有多小，故可略掉）

我們也可以採用極限論證法：

$\begin{eqnarray*} \frac{dF(x)}{dx}&=&\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{F(x+\Delta... ...ghtarrow0}[x^2+x\cdot\Delta x+\frac{1}{3}(\Delta x)^2]\\ &=&x^2 \end{eqnarray*}$

兩種算法殊途同歸。於是由定理一可知

$\begin{displaymath} \int_a^bx^2dx = \frac{1}{3}x^3 \big\vert _a^b = \frac{1}{3}(b^3-a^3) \end{displaymath}$

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編輯：石莉君 ∕ 校對：康明軒 ∕ 繪圖：張琇惠;簡立欣

最後修改日期：2/17/2002