現在唯一不明的是：線段含有無窮多點，這個「無窮」是什麼？可否進一步說明？「連續統」(continuum) 是什麼？
這些問題正是康特所要追尋的，由此導致集合論 (set theory) 的誕生。微積分與集合論分別是人類第一波與第二波的馴服無窮。
亞里斯多德將無窮分成實在的無窮 (actual infinity) 與潛在的無窮 (potential infinity)，然後儘可能地避開前者。歐氏亦然，他的第五公理（平行公理）其實是敘述成：
兩直線被一直線所截，若在此截線的一側它跟兩直線所成的內角和小於一平角，則兩直線在此側相交。
這樣就避開了平行公理所需用到的:兩直線無限地延伸，都不相交的說法。
伽利略研究自由落體，得到自由落體定律
 ，這是一個平方函數。基於好奇心，他將自然數與其平方數作對應：
意外地發現自然數全體與平方數全體的元素個數一樣多，但是後者只是前者的一部分，這違背了歐氏的「全體大於部分」之公理。對此伽利略疑惑不解，稱之為伽利略詭論（Galileo Paradox, 1638）。因此歐氏公理只適用於有涯的世界，而不適用於無涯的世界。
微積分初步馴服無窮之後，人們對於「實在的無窮」仍然覺得恐懼。高斯（C.F. Gauss, 1777∼1855）說：
涉及無窮大的量，如果指的是「實在的無窮」，這種用法在數學中是不允許的。
康特不但接受伽利略的「詭論」，而且還拿它當作「無窮集」的定義：
一個集合若存在有部分子集，其元素個數跟全體的一樣多，就叫做無窮集。
兩個集合的元素個數一樣多，是什麼意思？康特利用對射 (bijective mapping or one to one correspondence) 的概念，來剖析無窮。如果兩個集合之間存在有一個對射，則稱此兩集合的元素個數一樣多，或具有相同的基數 (cardinal number)，進一步，他將集合分成可列集 (countable set) 與不可列 (uncountable set)：一個集合如果是有窮集或可跟自然數集形成一個對射，則稱此集是可列的，否則稱為是不可列的。
康特證明了：有理數集與代數數集 (algebraic numbers) 都是可列的，但是區間 [a.b] 及實數系都是不可列的。換言之，實數系 R 的無窮比自然數的無窮還要高級，所以超越數 (transcendental numbers) 存在。甚至他還證明：區間 [0,1] 與正方形
[0,1] x [0,1] 的點數一樣多！大大地違背直觀常識！康特在1877年寫信給好朋友戴德金說：「除非我能從你那裡得知我的證明的對錯，否則我是放心不下的。在未得你的證實之前，我只能說：我看到了它，但是我幾乎不敢相信！(I see it, but I don't believe it!)」
如果令 N 的基數為  （唸成 Aleph zero， 是希伯萊第一個字母），R 的基數  ，康特猜測說：不存在一個集合，其基數介於 與 之間。這叫做康特的連續統假說 (the continuum hypothesis)。如何證明或否證？柯恩 (P.J. Cohen) 在1963年提出的解答竟然出人意料之外：
它跟集合論公理是獨立的，是額外的一個公理，我們可以接受也可以拒絕。換言之，它既對又錯，端視我們的取捨，跟歐氏幾何的平行公理的地位完全相當。
康特對於問題 3 的回答是：線段含有無窮多點，而且是不可列的無窮。
康特因追究「無窮」而創立集合論。
集合論的誕生被形容為是「數學的法國大革命」，其術語已普及到所有的數學分支。現代數學的結構主義觀點認為，數學就是研究集合加上結構所形成的演繹系統。
希爾伯特（D. Hilbert, 1862∼1943）稱讚集合論說：
沒有人能夠把我們趕出康特為我們所建立的樂園。
羅素（B. Russell, 1872∼1970）也說：
對於先前環繞在數學無窮四周的困惑之解決，是我們這個時代最足以自豪的偉大成就。
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