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.原載於數學傳播第七卷第四期、第八卷第一期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
 

費馬問題

康明昌

 
 


前言

二十世紀的今天仍然有人在解古希臘幾何三大問題,有人窮畢生之力研究方程式解的公式,也有人在搜集畢氏定埋的各種證明,據說多達七、八十種。 這些人多半是玩票性質的「數學家」,他們從小對數學很感興趣,並且往往頗有天分,可惜陰錯陽差,未能獲得完整的高等數學訓練,因此對於近世數學的內容與精神不甚清楚。 他們可能在中學聽過數學老師講古希臘幾何三大問題、Fermat 問題、Goldbach 問題、四色問題, 老師可能還鄭重其事的告訴他們:「如果能夠解決以上任何一個問題,你就可以一夜成名天下知。」從此他們就對這些問題一往情深的窮追不捨。

可是當他們把心血結晶公諸於世時,真正數學家的反應卻是出奇冷淡。什麼原因呢?有人說是同行相忌,有人說是門戶之見,也有人說他們把精力用在一個完全錯誤的地方。

十九世紀以來,數學的進步實在不是「一日千里」四個字所能形容的。如果有人告訴一個「業餘數學家」,他所認識的數學基本上不超出十八世紀 Euler(1707∼1783年)的範圍,「業餘數學家」一定不願意承認,並且以為這種講法侮辱了他。 有人可能認為自己唸過「新數學」,應該跟得上時代潮流了吧。呵!我真希望似商品出售的「新數學」能夠經久耐用,不要像泡泡糖一樣,咀嚼幾次就被吐掉了。

本系列文章準備討論幾個有名的數學問題,如 Fermat 問題、 古希臘幾何三大問題方程式求解問題。 這些問題都是初等的問題 (elementary problems), 也就是說只要具備高中程度的數學知識,就能夠了解與欣賞這些問題, 也能夠自己動手研究這些問題。可是有多少人知道, 幾個世紀以來數學家在研究這些問題的過程中已經走了多少路? 開闢了多少新世界?發展了多少新工具? 並且數學家對於這些問題的基本看法也一直在變動中。例如,在傳統高中代數的課程堙A恆等式的證明(即式子的變換)是一項重要的訓練; 但是二十世紀的數學並不強調這種訓練,而把重點放在運算律及其基本性質。 因此,如果有人宣稱他求出一種簡便的三次方程式根的公式, 對十六世紀的 Francois Viète(1540∼1603年)而言, 可能是令人感興趣的成果,但是二十世紀的數學家或許只能很禮貌的說:「好極了,了不起的發見,就像有人想出某些口訣來幫助小學生更迅速的背誦九九乘法表。」

有天分的年輕人,如果對數學有興趣,不要把寶貴的時間浪費在沒有意義或已經解決的問題。 在邁開腳步之前,能夠抬眼觀察一下,前人走過多少路、走過那些路,大概是不會有害的。本文是本系列文章的第一篇,主題是 Fermat 問題。 Fermat 問題是整數論 (Theory of numbers) 的一個問題。 整數論的目的在研究整數的基本性質,例如:

  • 那些整數可以寫成 x2 + 3 y2 的形式,其中 xy 都是整數?如,

    \begin{displaymath}
\begin{eqalign}
7 &= 2^2 + 3 \cdot 1^2 \\
11 &\neq x^2 + 3 \cdot y^2
\end{eqalign}\end{displaymath}

  • 是不是所有的正整數都可寫成四個整數的平方和 (如, 7= 12 + 12 + 12 + 22)有幾種不同的寫法?
  • 形式如 4n+3 的質數,如 3,7,11,19,…,是不是有無窮多個?
  • 能否用已知的函數(如,多項式或對數函數)來描述質數的分布情形?

有歷史記載以來第一個研究整數論的,是亞歷山卓的 Diophantus (約250∼350年)。他的著作《Arithmetica》總共十三卷, 但是希臘文本只有六卷流傳後世,直到最近才發現另有四卷尚存阿拉伯文譯本。 這本書收集許多問題及其解法,假如,有一種問題是:求一組非零的有理數 x,y,滿足 x2 - 26y2 = 1。讀者願意做一做這個問題嗎 註1

Diophantus 的工作並沒有激發更進一步的研究, 直到十七世紀 Pierre de Fermat(1601∼1665年)才突破了 Diophantus 的局限, 建立了近代整數論的基礎。此後由於 Lonhard Euler、Joseph Louis Lagrange(1736∼1813年)、Carl Friedrich Gauss(1777∼1855年)、Adrien Marie Legendre(1752∼1833年)的苦心經營,整數論終於變成近代數學的一支主流。Gauss 曾經說「數學是科學的女皇,而整數論是數學的女皇。」

整數論有許多難題,到現在還無法解決。例如:

  1. Fermat 問題: 若 n 是任意大於 2 的整數, 方程式 xn + yn = zn 沒有全異於零的整數解 註2
  2. Goldbach 問題: 任意大於 2 的偶數都可寫成兩個質數的和。
  3. Catalan 問題: 若 x, y, m >1n>1 都是正整數,則方程式 xm - yn =1 的解只有 x=3, y=2, m=2, n=3

以上三個問題不知耗費多少數學家的心力,卻始終得不到證明 註3 。 正因為這三個問題太淺顯易懂,有些「業餘數學家」不免見獵心喜,慨然以解決這些問題為終身職志。如果他們知道專業數學家,曾經使用多少精妙艱深的方法,試圖解決這些問題的話,大概會嚇一大跳。看來毫不起眼的問題,背後卻隱藏那麼多機關!

Fermat 問題是本文的中心題目。

 
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編輯:康明軒 最後修改日期:4/26/2002